Dimostrazioni in campo complesso
Salve a tutti!
Sto preparando l'esame di analisi complessa e ho alcune dimostrazioni da fare utilizzando $sen z= sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n+1}$, $ cos z=sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n} $ e $ e^{z}=sum_{n=0}^{infty} frac(z^{n})(n!) $.
Sono riuscito a dimostrare $frac(de^{z})(dz)=e^{z}$ e $frac(dcos z)(dz)=- sen z$.
Nella dimostrazione di $frac(dsin z)(dz)$ ho un problema sull'indice della sommatoria:
$frac(dsen z)(dz)=sum_{n=1}^{infty}(2n+1)frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n}=sum_{n=1}^{infty}frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n}$ e a questo punto non riesco a fare un cambio di indice della sommatoria in modo da avere $cos z$.
Sto preparando l'esame di analisi complessa e ho alcune dimostrazioni da fare utilizzando $sen z= sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n+1}$, $ cos z=sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n} $ e $ e^{z}=sum_{n=0}^{infty} frac(z^{n})(n!) $.
Sono riuscito a dimostrare $frac(de^{z})(dz)=e^{z}$ e $frac(dcos z)(dz)=- sen z$.
Nella dimostrazione di $frac(dsin z)(dz)$ ho un problema sull'indice della sommatoria:
$frac(dsen z)(dz)=sum_{n=1}^{infty}(2n+1)frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n}=sum_{n=1}^{infty}frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n}$ e a questo punto non riesco a fare un cambio di indice della sommatoria in modo da avere $cos z$.
Risposte
Beh la spiegazione di Gi8 mi ha permesso di capire perchè sbagliavo ad applicarla anche al seno.
In definitiva si può applicare solo alle serie di potenza con tutti i termini o con termini pari.
Infatti applicandola al seno viene tralasciata la derivata del primo termine.
In definitiva si può applicare solo alle serie di potenza con tutti i termini o con termini pari.
Infatti applicandola al seno viene tralasciata la derivata del primo termine.
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