Dimostrazioni di limiti notevoli di funzioni

[Iena1]

Salve, sono nuova, sto preparando l'esame di Analisi A, e siccome non posso avere un insegnante sempre a disposizione spero possiate aiutarmi. In particolare adesso sto studiando le dimostrazioni di alcuni limiti notevoli, solo che quando sono stati fatti a lezione io ero assente, così sto studiando sulle fotocopie degli appunti di una mia compagnia di corso... tagliati sulla sinistra perchè il bidello è stato un po' imbranato a farli e io un po' stupida a non controllarli, quindi ci sono delle informazioni mancanti. Oltrettutto ci sono delle cose che non sono state scritte affatto, come il risultato di alcuni dei limiti, cmq adesso vi dico:

$lim_(x->0)(log_a(1+x))/x=?$

C'è la dimostrazione e tutto ma, cosa straordinaria, manca proprio il risultato del limite, che so essere 1 per a=e, ma per tutte le altre basi? Ho il sospetto che sia $log_ae$ ma meglio chiedere piuttosto che sbagliare il compito.
Poi, nella dimostrazione di questo limite, si arriva al punto di trasformare il limite in questa forma

$lim_(x->0)log_a(1+x)^(1/x)$

e a calcolare il limite dell'argomento del logaritmo

$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e$ per l'analogo limite notevole

a questo punto c'è un pezzo tagliato, per cui si vede solo

$*>log_ae$

Dove il punto sta per la parte che manca. Che ci và lì? E come si conclude la dimostrazione?
Altro limite notevole problematico:

$lim_(x->0)(a^x-1)/x=?$

Stesso discorso di prima, so cosa vale per a=e ma non c'è scritto da nessuna parte quanto vale negli altri casi. Qui invece una domanda di tipo "teorico": nel caso di a=1 si ha

$A^x=1^x=1$ , $AAx$ quindi $a^x-1=0$ , poi mi fa risultare $lim_(x->0)(a^x-1)/x=0$

Ma non dovrebbe essere forma indeterminata? E se non lo è, come mai non lo è anche in questo caso?

se $a!=1$ , $lim_(x->0)a^x=a^0=1$ da cui $lim_(x->0)(a^x-1)/x=$forma indeterminata $0/0$

Infine, come procede la dimostrazione per $a!=1$? Gli appunti qui sono piuttosto confusi, ho capito che c'è il cambio di variabile $y=a^x-1$, che la funzione si trasforma secondo questa variabile, che si ottiene il limite notevole che ho scritto prima e che c'è un cambiamento di base (non so quale), dunque: cosa si ottiene cambiando la base e come finisce la dimostrazione? Scusate se sono stata prolissa, spero possiate aiutarmi, saluti.

[_Tipper]

In generale $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$, quindi quel limite puoi riscriverlo come:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{log_{e}a} \frac{ln(1+x)}{x}$ e il risultato è $\frac{1}{log_{e}a}$, cioè $log_{a}e$.

Se $a=1$ non è forma indeterminata semplicemente perché $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{0}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} 0=0$.

Per risolvere quel limite fai un cambio di variabile: chiama $a^{x}=e^{y}$, e il limite si riscrive così:

$\frac{e^{y}-1}{log_{a}e^{y}}=\frac{e^{y}-1}{y} log_{e}a$ e questo è un limite noto.

[Iena1]

"Tipper":In generale $log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}$, quindi quel limite puoi riscriverlo come:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{log_{e}a} \frac{ln(1+x)}{x}$ e il risultato è $\frac{1}{log_{e}a}$, cioè $log_{a}e$.

Se $a=1$ non è forma indeterminata semplicemente perché $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{0}{x}=\lim_{x \rightarrow 0} 0=0$.

Per risolvere quel limite fai un cambio di variabile: chiama $a^{x}=e^{y}$, e il limite si riscrive così:

$\frac{e^{y}-1}{log_{a}e^{y}}=\frac{e^{y}-1}{y} log_{e}a$ e questo è un limite noto.

Grazie, ho capito, solo una cosa: per la dimostrazione del primo limite che ho postato, ho capito la dimostrazione che hai fatto tu, ma è differente da quella che ho io sugli appunti e che la prof chiederà all'orale, è quasi alla fine, se sapeste dirmi che ci va alla sinistra di $>log_ae$ potrei concludere
Ora la posto per intero così vi fate un'idea:

$lim_(x->0)(log_a(1+x))/x=$ f.i. $0/0$

Elaboro la funzione:

$(log_a(1+x))/x=1/x*log_a(1+x)=log_a(1+x)^(1/x)$

Studio il limite dell'argomento del logaritmo

$lim_(x->0)(1+x)^(1/x)=e$ , per il limite notevole. Quindi: ?$>log_ae$

Cosa va al posto del punto interrogativo?

Un'altra cosa riguardo un altro limite notevole, si ha:

$((1+x)^alpha-1)/x=(e^(alpha*ln(1+x))-1)/x=(e^(alpha*ln(1+x))-1)/(alpha*ln(1+x))*(alpha*ln(1+x))/x$

Mi fa risultare che:

$(e^(alpha*ln(1+x))-1)/(alpha*ln(1+x))->1$ per $x->0$

Non dovrebbe tendere a zero?

[fu^2]

"Iena":[quote="Tipper"]I

$(e^(alpha*ln(1+x))-1)/(alpha*ln(1+x))->1$ per $x->0$

Non dovrebbe tendere a zero?

[/quote]

no in quanto $lim_(xto0)(e^(alpha*ln(1+x))-1)/(alpha*ln(1+x))

chiamo $t=alpha*ln(1+x))

e rimane $lim_(trarr0)(e^t-1)/(t)
chiamo $e^t-1=q

riamane $lim_(qto0)(q)/(ln(1+q))=lim_(qto0)1/(ln(1+q)^(1/q))=lim_(qto0)1/(lne)=1

è questo che volevi sapere, giusto?