Dimostrazioni con funzione implicita
buonasera, sto cercando di risolvere questi 2 esercizi sulla funzione implicita ma tuttavia non riesco a venirne a una.
il primo riporta: si dimostri che la funzione $g$ tale che $f(x,g(x))=0$ ammette un solo punto di minimo e due punti di massimo.
$f(x,y)=y-x^2+e^(x^2*y)$
ora ho impostato il sistema $\{(-2x+2x*e^(x^2*y)=0),(y-x^2+e^(x^2*y)=0):}$ e ho disegnato sul piano cartesiano il possibile andamento di $g(x)$ studiando i limiti per $x$ a $+infty,-infty$ e per $y$; da qui è evidente la presenza dei max e dei min ma dal sistema non ne esco:
$-2x(1-e^(x^2*y))=0$ solo se $x=0$ oppure $y=0$ e sostituendo nella seconda equazione trovo $(0,-1);(+-1,0)$: $(0,-1)$ è il minimo e fin qui ok! ma i 2 punti di massimo come li ricavo? dove sto sbagliando nel sistema?
riporto qui l'immagine del grafico approssimativo
il secondo problema è identico:i dimostri che la funzione $h$ tale che $f(x,h(x))=0$ ammette un solo punto di massimo.
$f(x,y)=e^x+y*e^(y^2)+x^2*y-1$
anche qui imposto il sistema $\{(e^x+2xy)=0),(e^x+y*e^(y^2)+x^2*y-1)=0):}$ tuttavia pur ricavando $y=-e^x/(2x)$ ottengo $e^x+(-e^x/(2x))*e^((-e^x/(2x))^2) + x^2*(-e^x/(2x))-1=0$ che non so come risolvere: senza l'ausilio di computer, come potrei dimostrare che questo sistema ammette solo una soluzione e dunque, in funzione dell'ipotetico grafico, esso è una massimo?
grafico ipotetico
Grazie mille a chi mi darà una mano!
il primo riporta: si dimostri che la funzione $g$ tale che $f(x,g(x))=0$ ammette un solo punto di minimo e due punti di massimo.
$f(x,y)=y-x^2+e^(x^2*y)$
ora ho impostato il sistema $\{(-2x+2x*e^(x^2*y)=0),(y-x^2+e^(x^2*y)=0):}$ e ho disegnato sul piano cartesiano il possibile andamento di $g(x)$ studiando i limiti per $x$ a $+infty,-infty$ e per $y$; da qui è evidente la presenza dei max e dei min ma dal sistema non ne esco:
$-2x(1-e^(x^2*y))=0$ solo se $x=0$ oppure $y=0$ e sostituendo nella seconda equazione trovo $(0,-1);(+-1,0)$: $(0,-1)$ è il minimo e fin qui ok! ma i 2 punti di massimo come li ricavo? dove sto sbagliando nel sistema?
riporto qui l'immagine del grafico approssimativo
il secondo problema è identico:i dimostri che la funzione $h$ tale che $f(x,h(x))=0$ ammette un solo punto di massimo.
$f(x,y)=e^x+y*e^(y^2)+x^2*y-1$
anche qui imposto il sistema $\{(e^x+2xy)=0),(e^x+y*e^(y^2)+x^2*y-1)=0):}$ tuttavia pur ricavando $y=-e^x/(2x)$ ottengo $e^x+(-e^x/(2x))*e^((-e^x/(2x))^2) + x^2*(-e^x/(2x))-1=0$ che non so come risolvere: senza l'ausilio di computer, come potrei dimostrare che questo sistema ammette solo una soluzione e dunque, in funzione dell'ipotetico grafico, esso è una massimo?
grafico ipotetico
Grazie mille a chi mi darà una mano!
Risposte
Risposta da mobile.
Primo esercizio. Così, su due piedi, direi che hai commesso un errore di calcolo nel costruire la prima equazione del primo sistema: ho l'impressione che manchi una y che moltiplica l'esponenziale. Sinceramente non ho carta e penna con me e non saprei dirti come continuare. In effetti il sistema si imbastardisce un po', ma penso che si possa risolvere lo stesso. Prova un pochino.
Primo esercizio. Così, su due piedi, direi che hai commesso un errore di calcolo nel costruire la prima equazione del primo sistema: ho l'impressione che manchi una y che moltiplica l'esponenziale. Sinceramente non ho carta e penna con me e non saprei dirti come continuare. In effetti il sistema si imbastardisce un po', ma penso che si possa risolvere lo stesso. Prova un pochino.
ciao, in effetti avevi ragione: mancava un $y$, ma la situazione si è addirittura complicata
$2x(-1+ye^(x^2*y))=0$ mi permette di trovare $x=0,y=-1$ ma poi rimango con $-1+ye^(x^2*y)=0$ che non mi permette di ricava $y$. Allo stesso modo, partendo da $f(x,y)=0$ non riesco a ricavare $y$ per via di $e^(x^2*y$.
non so proprio come uscirne...
sul secondo sistema invece hai idee su come procedere?
grazie
$2x(-1+ye^(x^2*y))=0$ mi permette di trovare $x=0,y=-1$ ma poi rimango con $-1+ye^(x^2*y)=0$ che non mi permette di ricava $y$. Allo stesso modo, partendo da $f(x,y)=0$ non riesco a ricavare $y$ per via di $e^(x^2*y$.
non so proprio come uscirne...
sul secondo sistema invece hai idee su come procedere?
grazie
@Ale
L'esercizio non ti chiede di trovare i punti critici ma bensì di dimostrare che sono 3 e di che tipo.
Prima di iniziare, elenchiamo le cose che non hai scritto:
1) la funzione è pari. $f(-x,g(-x))=f(x,g(x))$. Pertanto dopo considererò solo il primo e terzo quadrante
2) $f(+-1,0)=0$ quindi la funzione attraversa l'asse delle X solo due volte.
3) non hai scritto la $g'(y)$ completa (ma solo il numeratore). Anche solo per applicare Dini dovresti indicare che $(deltaf)/(deltay)=x^2e^(x^2y)+1>0$ sempre.
4) La funzione è continua, per cui una volta trovato il punto critico $f(0,-1)$ potresti valutare cosa accade nell'intervallo $0
Tenendo conto della 2) e della 4), la funzione cresce per $x>1$. Ma che fa? Esistono altri punti critici? E quanti? E di che tipo?
Il limite $lim_(x->oo) f=0$ quindi almeno un punto critico deve esistere.
Analizzando $ye^(x^2y)-1=0$ possiamo trarre altre conclusioni.
$ye^(x^2y)=1 rArr ln(ye^(x^2y))=0 rArr x^2y=-ln(y)$ e sappiamo che $x>1$ e $y>0$
Preso un qualsiasi $x_0>1$ abbiamo una retta passante per l'origine con pendenza positiva che interseca la funzione logaritmica speculare all'asse X. Dato che il primo membro di $x^2y=-ln(y)$ è sempre positivo, le due funzioni si incontrano se e solo se $01$ e poichè si intersecano una sola volta allora esiste un $y_0$ tale che $01$
Il resto è immediato
L'esercizio non ti chiede di trovare i punti critici ma bensì di dimostrare che sono 3 e di che tipo.
Prima di iniziare, elenchiamo le cose che non hai scritto:
1) la funzione è pari. $f(-x,g(-x))=f(x,g(x))$. Pertanto dopo considererò solo il primo e terzo quadrante
2) $f(+-1,0)=0$ quindi la funzione attraversa l'asse delle X solo due volte.
3) non hai scritto la $g'(y)$ completa (ma solo il numeratore). Anche solo per applicare Dini dovresti indicare che $(deltaf)/(deltay)=x^2e^(x^2y)+1>0$ sempre.
4) La funzione è continua, per cui una volta trovato il punto critico $f(0,-1)$ potresti valutare cosa accade nell'intervallo $0
Tenendo conto della 2) e della 4), la funzione cresce per $x>1$. Ma che fa? Esistono altri punti critici? E quanti? E di che tipo?
Il limite $lim_(x->oo) f=0$ quindi almeno un punto critico deve esistere.
Analizzando $ye^(x^2y)-1=0$ possiamo trarre altre conclusioni.
$ye^(x^2y)=1 rArr ln(ye^(x^2y))=0 rArr x^2y=-ln(y)$ e sappiamo che $x>1$ e $y>0$
Preso un qualsiasi $x_0>1$ abbiamo una retta passante per l'origine con pendenza positiva che interseca la funzione logaritmica speculare all'asse X. Dato che il primo membro di $x^2y=-ln(y)$ è sempre positivo, le due funzioni si incontrano se e solo se $0
Il resto è immediato
Grazie Bokonon...
Ho dunque capito che per queste dimostrazioni devo applicare un modo di agire diverso dalla semplice individuazione dei punti!
Provo a farlo allora anche sul secondo
Ho dunque capito che per queste dimostrazioni devo applicare un modo di agire diverso dalla semplice individuazione dei punti!
Provo a farlo allora anche sul secondo
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