Dimostrazione Teorema di Weierstrass
Mi chiedevo se la seguente dimostrazione alternativafunzionava, per il teorema in titolo:
SE f(x) continua in X compatto $rArr AA a, b in$ X esiste max e min per f(x)
pongo f(X) = Y
$EE$ max Y $hArr$ sup Y $in$ Y
normalmente si prova a negare per assurdo la tesi, e non vi tedierò con questo.
Dimostrerò invece che Esiste il sup Y e non può altro che appartenere a Y stesso.
Innanzi tutto, si nota che l'ipotesi è la stessa del teorema di bolzano (quello dei valori intermedi) con l'unica particolarità che abbiamo un dato in più: X compatto. significa che la f assumerà TUTTI i valori tra f(a) e f(b) estremi inclusi.
$EE$ quindi f(x) $AA x in [a,b]$
quindi sup Y non può che appartenere a Y, cvd
pensate sia una dim valida? aspetto notizie, per capire quanto ho capito, vi ringrazio per ogni aiuto.
SE f(x) continua in X compatto $rArr AA a, b in$ X esiste max e min per f(x)
pongo f(X) = Y
$EE$ max Y $hArr$ sup Y $in$ Y
normalmente si prova a negare per assurdo la tesi, e non vi tedierò con questo.
Dimostrerò invece che Esiste il sup Y e non può altro che appartenere a Y stesso.
Innanzi tutto, si nota che l'ipotesi è la stessa del teorema di bolzano (quello dei valori intermedi) con l'unica particolarità che abbiamo un dato in più: X compatto. significa che la f assumerà TUTTI i valori tra f(a) e f(b) estremi inclusi.
$EE$ quindi f(x) $AA x in [a,b]$
quindi sup Y non può che appartenere a Y, cvd
pensate sia una dim valida? aspetto notizie, per capire quanto ho capito, vi ringrazio per ogni aiuto.
Risposte
Il tuo post mi appare confusionario e privo di senso. (Lo so che è un modo super antipatico per rispondere ma mi piace, ihihihih! 
Ho un futuro come manovratore di bulldozzer.)
Cmq, veniamo a noi:
Che vuol dire?
Weierstrass dice che l'immagine continua di un compatto è limitata e possiede massimo e minimo. Alias: Una funzione continua su un compatto è ivi limitata ed assume massimo e minimo. La proposizione che hai scritto non ha senso.
Innanzitutto non è vero. Prendi la funzione $f:[0,1]U[2,3]->RR$ che vale f(x)=x. Come vedi non funziona. Non serve che il dominio sia compatto ma che sia connesso. Poi non mi risulta che questo dipenda dal teorema di Bolzano ma da quello "dei valori intermedi" che è un corollario del teorema di Weierstrass nel senso che solitamente di dimostra usando il th di weierstrass- quello che stai dimostrando.
che diavolo vuoi dire?
Ergo: Prova a pensare seriamente a ciò che hai scritto. Se hai bisogno di chiarimenti chiedi pure. La mia sete di demolizione si è placata:D
Ho un futuro come manovratore di bulldozzer.)Cmq, veniamo a noi:
SE f(x) continua in X compatto ⇒∀a,b∈ X esiste max e min per f(x)
Che vuol dire?
Weierstrass dice che l'immagine continua di un compatto è limitata e possiede massimo e minimo. Alias: Una funzione continua su un compatto è ivi limitata ed assume massimo e minimo. La proposizione che hai scritto non ha senso.
X compatto. significa che la f assumerà TUTTI i valori tra f(a) e f(b) estremi inclusi.
Innanzitutto non è vero. Prendi la funzione $f:[0,1]U[2,3]->RR$ che vale f(x)=x. Come vedi non funziona. Non serve che il dominio sia compatto ma che sia connesso. Poi non mi risulta che questo dipenda dal teorema di Bolzano ma da quello "dei valori intermedi" che è un corollario del teorema di Weierstrass nel senso che solitamente di dimostra usando il th di weierstrass- quello che stai dimostrando.
∃ quindi f(x) ∀x∈[a,b]
quindi sup Y non può che appartenere a Y, cvd
che diavolo vuoi dire?
Ergo: Prova a pensare seriamente a ciò che hai scritto. Se hai bisogno di chiarimenti chiedi pure. La mia sete di demolizione si è placata:D
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Weierstrass
per cominciare leggiti wiki. (fortuna che esiste questa risorsa gestita da milioni di utenti a difesa di quelli che come me, qualcosa di alibri la leggono.) Poi prendi il marcellini sboldone, e verifica quel che dice il wiki.. il libro cita testualmente:
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato[a,b] (è un compatto, se non lo sai) Allora f(x) assume massimo e minimo in [a,b], cioè esistono in [a,b] x1 e x2 tali che f(x1)$<=$ f(x) $<=$ f(x2), $AA x in [a,b]$
Tho... ci assomiglia assai eh??? si, forse un pò sintetico, ma le info che mi servono ci stanno tutte,
X compatto, qualsiasi siano gli estremi di X f(x) assume max e minimo in [a,b]
Il teorema dei valori intermedi lo ha fatto bolzano, alcuni libri infatti lo portano come "teorema di bolzano, o dei valori intermedi" e NO. non si dimostra con weierstrass. Si si, lo so Bolzano ha fatto pure il fighissimo teorema degli zeri, e sticazzi??
Leggiti che significa continua in un INTERVALLO! O credi che nella tesi abbia detto $AA$ a,b $in$ X per il solo gusto di usare il simbolo $AA$ e atteggiarmi a gran figo? Vuoi demolire? impara come.
Io dicevo solo che se f(x) è continua in un compatto, è anche continua in un qualsiasi intervallo a,b, pertanto, per il teorema di bolzano o "esistenza dei valori intermedi" si dimostra che esiste Qualsiasi f(x) compresa tra f(a) e f(b), e se c'è un sup Y = max Y con Y = f(X) (nota bene. X grande sta a indicare insieme. non variabile indipendente) allora questo sup appartiene necessariamente a Y, proprio perchè la f è continua!
in altro modo non lo so spiegare.
D'altra parte, come dice anche il wiki, è dimostrabile anche semplicemente dicendo che l'immagine di un compatto, è a sua volta un compatto, pertanto chiuso e limitato, quindi il sup è per forza appartenente all'insieme, quindi esiste max.
No davvero, piuttosto che demolire fai girare le palle, soprattutto se quoti solo determinati pezzi, che senza le premesse che c'erano prima non hanno un grosso significato. Se ti credi un gran figo ma non sai un ****, non è colpa mia. Poi bho, in fondo ti ricordo che so venuto qui non con la dicitura "sono un figo della madonna e vi svelo l'arcano" so venuto a chiedere "secondo voi va bene na cosa simile?". Tu dici no? Ok, sappi che hai scritto fesserie, e te lo dico col libro avanti capisci? marcellini sbordone analisi matematica uno.pagina 158.
per cominciare leggiti wiki. (fortuna che esiste questa risorsa gestita da milioni di utenti a difesa di quelli che come me, qualcosa di alibri la leggono.) Poi prendi il marcellini sboldone, e verifica quel che dice il wiki.
. il libro cita testualmente:Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato[a,b] (è un compatto, se non lo sai) Allora f(x) assume massimo e minimo in [a,b], cioè esistono in [a,b] x1 e x2 tali che f(x1)$<=$ f(x) $<=$ f(x2), $AA x in [a,b]$
SE f(x) continua in X compatto ⇒∀a,b∈ X esiste max e min per f(x)
Tho... ci assomiglia assai eh??? si, forse un pò sintetico, ma le info che mi servono ci stanno tutte,
X compatto, qualsiasi siano gli estremi di X f(x) assume max e minimo in [a,b]Il teorema dei valori intermedi lo ha fatto bolzano, alcuni libri infatti lo portano come "teorema di bolzano, o dei valori intermedi" e NO. non si dimostra con weierstrass. Si si, lo so Bolzano ha fatto pure il fighissimo teorema degli zeri, e sticazzi??
Innanzitutto non è vero. Prendi la funzione f:[0,1]U[2,3]→ℝ che vale f(x)=x. Come vedi non funziona. Non serve che il dominio sia compatto ma che sia connesso. Poi non mi risulta che questo dipenda dal teorema di Bolzano ma da quello "dei valori intermedi" che è un corollario del teorema di Weierstrass nel senso che solitamente di dimostra usando il th di weierstrass- quello che stai dimostrando.
Leggiti che significa continua in un INTERVALLO! O credi che nella tesi abbia detto $AA$ a,b $in$ X per il solo gusto di usare il simbolo $AA$ e atteggiarmi a gran figo? Vuoi demolire? impara come.
Io dicevo solo che se f(x) è continua in un compatto, è anche continua in un qualsiasi intervallo a,b, pertanto, per il teorema di bolzano o "esistenza dei valori intermedi" si dimostra che esiste Qualsiasi f(x) compresa tra f(a) e f(b), e se c'è un sup Y = max Y con Y = f(X) (nota bene. X grande sta a indicare insieme. non variabile indipendente) allora questo sup appartiene necessariamente a Y, proprio perchè la f è continua!
in altro modo non lo so spiegare.
D'altra parte, come dice anche il wiki, è dimostrabile anche semplicemente dicendo che l'immagine di un compatto, è a sua volta un compatto, pertanto chiuso e limitato, quindi il sup è per forza appartenente all'insieme, quindi esiste max.
No davvero, piuttosto che demolire fai girare le palle, soprattutto se quoti solo determinati pezzi, che senza le premesse che c'erano prima non hanno un grosso significato. Se ti credi un gran figo ma non sai un ****, non è colpa mia. Poi bho, in fondo ti ricordo che so venuto qui non con la dicitura "sono un figo della madonna e vi svelo l'arcano" so venuto a chiedere "secondo voi va bene na cosa simile?". Tu dici no? Ok, sappi che hai scritto fesserie, e te lo dico col libro avanti capisci? marcellini sbordone analisi matematica uno.pagina 158.
Pero' Gringoire tu non avevi specificato la seguente ipotesi: $[a,b] subseteq X$. Per questo Megan00b ti ha fatto quell'esempio. Non è detto che comunque scelti a e b in X con $a le b$ si abbia $[a,b] subseteq X$.
E credo proprio che la tua dimostrazione utilizzi il fatto che dato un compatto X, per ogni a,b in X con $a le b$ si ha $[a,b] subseteq X$. E questo non è vero. Per questo serve perlomeno che X sia connesso.
A scanso di equivoci, mi scuso se ho capito male io.
Ciao.
E credo proprio che la tua dimostrazione utilizzi il fatto che dato un compatto X, per ogni a,b in X con $a le b$ si ha $[a,b] subseteq X$. E questo non è vero. Per questo serve perlomeno che X sia connesso.
A scanso di equivoci, mi scuso se ho capito male io.
Ciao.
"Gringoire":
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Weierstrass
per cominciare leggiti wiki. (fortuna che esiste questa risorsa gestita da milioni di utenti a difesa di quelli che come me, qualcosa di alibri la leggono.) Poi prendi il marcellini sboldone, e verifica quel che dice il wiki.
Sia f(x) una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato[a,b] (è un compatto, se non lo sai) Allora f(x) assume massimo e minimo in [a,b], cioè esistono in [a,b] x1 e x2 tali che f(x1)$<=$ f(x) $<=$ f(x2), $AA x in [a,b]$
SE f(x) continua in X compatto ⇒∀a,b∈ X esiste max e min per f(x)
Tho... ci assomiglia assai eh??? si, forse un pò sintetico, ma le info che mi servono ci stanno tutte,
Il teorema dei valori intermedi lo ha fatto bolzano, alcuni libri infatti lo portano come "teorema di bolzano, o dei valori intermedi" e NO. non si dimostra con weierstrass. Si si, lo so Bolzano ha fatto pure il fighissimo teorema degli zeri, e sticazzi??
Innanzitutto non è vero. Prendi la funzione f:[0,1]U[2,3]→ℝ che vale f(x)=x. Come vedi non funziona. Non serve che il dominio sia compatto ma che sia connesso. Poi non mi risulta che questo dipenda dal teorema di Bolzano ma da quello "dei valori intermedi" che è un corollario del teorema di Weierstrass nel senso che solitamente di dimostra usando il th di weierstrass- quello che stai dimostrando.
Leggiti che significa continua in un INTERVALLO! O credi che nella tesi abbia detto $AA$ a,b $in$ X per il solo gusto di usare il simbolo $AA$ e atteggiarmi a gran figo? Vuoi demolire? impara come.
Io dicevo solo che se f(x) è continua in un compatto, è anche continua in un qualsiasi intervallo a,b, pertanto, per il teorema di bolzano o "esistenza dei valori intermedi" si dimostra che esiste Qualsiasi f(x) compresa tra f(a) e f(b), e se c'è un sup Y = max Y con Y = f(X) (nota bene. X grande sta a indicare insieme. non variabile indipendente) allora questo sup appartiene necessariamente a Y, proprio perchè la f è continua!
in altro modo non lo so spiegare.
D'altra parte, come dice anche il wiki, è dimostrabile anche semplicemente dicendo che l'immagine di un compatto, è a sua volta un compatto, pertanto chiuso e limitato, quindi il sup è per forza appartenente all'insieme, quindi esiste max.
No davvero, piuttosto che demolire fai girare le palle, soprattutto se quoti solo determinati pezzi, che senza le premesse che c'erano prima non hanno un grosso significato. Se ti credi un gran figo ma non sai un ****, non è colpa mia. Poi bho, in fondo ti ricordo che so venuto qui non con la dicitura "sono un figo della madonna e vi svelo l'arcano" so venuto a chiedere "secondo voi va bene na cosa simile?". Tu dici no? Ok, sappi che hai scritto fesserie, e te lo dico col libro avanti capisci? marcellini sbordone analisi matematica uno.pagina 158.
Caro Gringoire, ti consiglio di rivederti - oltre alle regole della buona educazione - alcune nozioni basilari della matematica, tra cui l'uso dei quantificatori sul quale hai evidentemente idee molto confuse. Altro che teorema di Weierstrass!
Azz mi arriva uno senza manco la creanza di esporre fatti o idee con il rispetto dell'intelligenza altrui, io mi difendo e IO devo rivedermi le regole di educazione??
SE f(x) continua in X compatto ⇒∀a,b∈ X esiste max e min per f(x)
e questo che significa?
Se puoi aiutarmi con una critica costruttiva nel dirmi i problemi che hai notato, nello specifico, mi faresti un favore, al di la della cazzata dell'educazione. uno che non mi rispetta non merita rispetto, al di la della matematica, ci sono modi e modi di esporre le proprie idee, contrastanti con quelle di un altro. questo arriva senza conoscermi e dice in un forum pubblico sei un imbecille, in modo quasi esplicito, dicendo cose in parte non vere, e senza invece avvalorare le sue di ipotesi.
Io se ti dico che stai sbagliando ti dico dove! non ti dico "sei un imbecille", senza motivarlo! Demolizione?? ma che demolisci??? non bastava un No guarda, è così??? no, c'era bisogno di ridicolizzare. io credo che mi sia comportato anche troppo educatamente per la reazione che ho avuto, quando invece la mia reazione sarebbe dovuta stare molto più scontrosa.
Se ti comporti inun certo modo è inevitabile che uno si pone sulla difensiva. io se capisco gli errori, li ammetto, ma non ammetto chi invece infierisce!
Sono giunto qui per cercare aiuto su una cosa che non mi è chiara, ho esposto il mio pensiero, e la mia perplessità. Se su questo forum non è possibile, non avere le idee chiare, senza essere derisi, allora chiedo scusa, ma ho sbagliato a postare.
Se volete aiutarmi ve ne sarò grato, se invece volete deridermi, ditemelo prima, ma lo farete ad un post morto. giacchè mi autobanno.
Pero' Gringoire tu non avevi specificato la seguente ipotesi: [a,b]⊆X. Per questo Megan00b ti ha fatto quell'esempio. Non è detto che comunque scelti a e b in X con a≤b si abbia [a,b]⊆X.
SE f(x) continua in X compatto ⇒∀a,b∈ X esiste max e min per f(x)
e questo che significa?
Caro Gringoire, ti consiglio di rivederti - oltre alle regole della buona educazione - alcune nozioni basilari della matematica, tra cui l'uso dei quantificatori sul quale hai evidentemente idee molto confuse. Altro che teorema di Weierstrass!
Se puoi aiutarmi con una critica costruttiva nel dirmi i problemi che hai notato, nello specifico, mi faresti un favore, al di la della cazzata dell'educazione. uno che non mi rispetta non merita rispetto, al di la della matematica, ci sono modi e modi di esporre le proprie idee, contrastanti con quelle di un altro. questo arriva senza conoscermi e dice in un forum pubblico sei un imbecille, in modo quasi esplicito, dicendo cose in parte non vere, e senza invece avvalorare le sue di ipotesi.
Io se ti dico che stai sbagliando ti dico dove! non ti dico "sei un imbecille", senza motivarlo! Demolizione?? ma che demolisci??? non bastava un No guarda, è così??? no, c'era bisogno di ridicolizzare. io credo che mi sia comportato anche troppo educatamente per la reazione che ho avuto, quando invece la mia reazione sarebbe dovuta stare molto più scontrosa.
Se ti comporti inun certo modo è inevitabile che uno si pone sulla difensiva. io se capisco gli errori, li ammetto, ma non ammetto chi invece infierisce!
Sono giunto qui per cercare aiuto su una cosa che non mi è chiara, ho esposto il mio pensiero, e la mia perplessità. Se su questo forum non è possibile, non avere le idee chiare, senza essere derisi, allora chiedo scusa, ma ho sbagliato a postare.
Se volete aiutarmi ve ne sarò grato, se invece volete deridermi, ditemelo prima, ma lo farete ad un post morto. giacchè mi autobanno.
rileggendo tutto, mi pare che abbiate ignorato totalmente l'ultima riga del mio primo post:ù
pensate sia una dim valida? aspetto notizie, per capire quanto ho capito, vi ringrazio per ogni aiuto.
Insomma, non mi sono posto superiore, non penso di esserlo, e dal mio post non mi sono atteggiato. non capisco l'accanimento di meganoob, e di sandokan dopo di lui.
mha.
pensate sia una dim valida? aspetto notizie, per capire quanto ho capito, vi ringrazio per ogni aiuto.
Insomma, non mi sono posto superiore, non penso di esserlo, e dal mio post non mi sono atteggiato. non capisco l'accanimento di meganoob, e di sandokan dopo di lui.
mha.
Per conto mio, da un lato capisco Megan00b che ha esposto le sue idee, ma dall'altro devo rimarcare che il suo modo di esporre il suo pensiero poteva essere un po' meno "diretto". Da un terzo lato, probabilmente Gringoire ha ragione a mettersi sulla difensiva ma non ha ragione ad utilizzare parolacce e semi-insulti.
Io proporrei che noi si discuta esclusivamente sul problema in questione, tenendo conto che siamo esseri umani ed è possibile sbagliare o dire cose in modo non chiaro e per altri totalmente prive di significato, ed in tali occasioni credo sia bene proporre soluzioni alternative e domandare chiarimenti, anziché dire "quello che hai scritto non ha senso". Tutto ciò nei limiti del possibile.
Io non capisco la seguente affermazione: "SE f(x) continua in X compatto $Rightarrow \forall a,b in X$ esiste max e min per f(x)". Se si scelgono arbitrariamente a e b in X, diciamo pure con $a le b$ (qui X, anche se non è mai stato detto, immagino sia un sottoinsieme di $RR$), non è detto che $[a,b] subseteq X$, e di conseguenza non si può parlare di restrizione di f all'intervallo [a,b]. Quando dici "esiste max e min per f(x)" cosa intendi esattamente?
Io proporrei che noi si discuta esclusivamente sul problema in questione, tenendo conto che siamo esseri umani ed è possibile sbagliare o dire cose in modo non chiaro e per altri totalmente prive di significato, ed in tali occasioni credo sia bene proporre soluzioni alternative e domandare chiarimenti, anziché dire "quello che hai scritto non ha senso". Tutto ciò nei limiti del possibile.
Io non capisco la seguente affermazione: "SE f(x) continua in X compatto $Rightarrow \forall a,b in X$ esiste max e min per f(x)". Se si scelgono arbitrariamente a e b in X, diciamo pure con $a le b$ (qui X, anche se non è mai stato detto, immagino sia un sottoinsieme di $RR$), non è detto che $[a,b] subseteq X$, e di conseguenza non si può parlare di restrizione di f all'intervallo [a,b]. Quando dici "esiste max e min per f(x)" cosa intendi esattamente?
Intanto un modo corretto di enunciare il teorema di Weierstrass è: se $f$ è continua in $X$ compatto, allora esistono max e min per $f$. Che cosa significa $\forall a, b \in X$?
Poi il teorema dei valori intermedi che tu citi non afferma forse che $f$ assume tutti i valori compresi tra l'inf e il sup di $f$? A priori, nulla ci assicura che l'inf e il sup appartengono a $f(X)$.
Poi il teorema dei valori intermedi che tu citi non afferma forse che $f$ assume tutti i valori compresi tra l'inf e il sup di $f$? A priori, nulla ci assicura che l'inf e il sup appartengono a $f(X)$.
Allora. Il mio post precedente voleva essere simpaticamente provocatorio per farti rendere conto di ciò che avevi scritto. Ho detto scherzosamente al secondo rigo che era una maniera antipatica per rispondere. Se ciò non era chiaro chiedo venia. Era un modo gentile ma punzecchiante per dire quello che ora ti dico in maniera non gentile:
Non hai capito una sega di come si usano i quantificatori, non hai capito una sega di cos'è un compatto, non hai capito una sega del teorema di weierstrass. Ora siccome io rimango una persona gentile anche se fortemente indispettita ti spiego dove sbagli. Se qualcosa non ti dovesse essere chiara chiedi pure.
Partiamo dall'inizio.
Il teorema di Weierstrass vale su spazi euclidei generici ossia su $RR^n$ per qualsiasi $n>=1$.
(Perdonami se inserisco solo una frase ma quotare ogni volta tutto il post sarebbe di scarso impatto grafico...)
Tu quindi stai prendendo una f definita su un compatto X (che non fosse una variabile lo sospettavo ...) non si sa dove l'hai preso questo compatto ma da ciò che segue sembrerebbe tu stia parlando di un compatto di $RR$.
Poi prendi 2 punti a e b in X e dici che a questa coppia di punti corrispondono max e min per f(x) che non si sa dove siano e quale rapporto abbiano con a e b.
Per quanto io stesso in un altro post abbia detto che la matematica contiene correnti e controcorrenti qui c'è poco da fare. Questa frase non ha senso. E tantomeno non esprime il teorema di weierstrass. E' come dire "Io ho cane ciao nastro adesivo perchè". Ha senso questa frase? NO! Se non ne sei convinto convincitene.
Nessuno qui vuole la precisione da logico, del tipo i quantificatori prima, ordinati, nessun carattere estraneo a quelli di Zermelo Fraenkel, ecc... Però almeno che le frasi che diciamo abbiano senso.
Poi tu chiami Y l'immagine del compatto X tramite la f. Vuoi dimostrare che esiste supY. Ma il sup di un insieme esiste sempre per banali proprietò di ordine in $RR$ (Se stiamo parlando ancora di $RR$). E' definito come il "minimo" (uso improprio per capirci) dei maggioranti dell'insieme se ce n'è almeno uno altrimenti come $+oo$.
Poi questa:
Come ti ho già detto l'ipotesi di compattezza non serve e non centra niente. Ti serve la connessione. E il teorema che ti dice che l'immagine continua di un connesso è connesso in spazi euclidei si chiama teorema dei valori intermedi e a quanto ne so è un corollario del teorerma di weierstrass.
Poi tu dici questo (scritto a parole):
... la f assume tutti i valori tra f(a) ed f(b) estremi inclusi QUINDI esiste f(x) per ogni x tra a e b. Ma questa è la proprietà di esistenza della funzione f. Cioè se ne stiamo parlando vuol dire che esiste quindi non ha senso questa deduzione.
Ora, non so quale sia il tuo livello di preparazione in matematica ma credo dovresti rivedere seriamente le basi. Se riesci a trovare una dimostrazione alternativa al teorema di weierstrass saremo felici di confrontarci con te (prometto che la prossima volta sarò meno antipatico!!) ma devi prima imparare ad esprimerti in termini matematici. ripeto: forse non te ne rendi conto, ma ciò che hai scritto non ha senso, non vuol dire nulla.
Permettimi un'altra cosa. Noi "un pochino più esperti" siamo abituati a lavorare con simboli logici e teoremi come quello di weierstrass fanno parte del nostro bagaglio di conoscenze "indiscutibili" come possono essere le tabelline. Pensa se uno venisdse da te e ti dicesse: "2 x 3 fa 18, 5 x 6 fa 81, ...", tu gli dici: " che diavolo stai blaterando?".. E' la stessa cosa. Non ti autobannare: il forum e la comunità in generale hanno bisogno di persone che provano a dire la loro e io ammiro molto questo. Solo che bisogna prima saper fare un po' di passi da solo e poi cominciare a saltellare...altrimenti cadi culo a terra... Citando un passaggio del film "Dead Poets Society"-"L'attimo fuggente" (il mio film preferito): "Non vogliamo ridere di te, vogliamo ridere con te!" Ti prego se hai bisogno di charimenti chiedi pure!
Non hai capito una sega di come si usano i quantificatori, non hai capito una sega di cos'è un compatto, non hai capito una sega del teorema di weierstrass. Ora siccome io rimango una persona gentile anche se fortemente indispettita ti spiego dove sbagli. Se qualcosa non ti dovesse essere chiara chiedi pure.
Partiamo dall'inizio.
Il teorema di Weierstrass vale su spazi euclidei generici ossia su $RR^n$ per qualsiasi $n>=1$.
SE f(x) continua in X compatto ⇒∀a,b∈ X esiste max e min per f(x)
(Perdonami se inserisco solo una frase ma quotare ogni volta tutto il post sarebbe di scarso impatto grafico...)
Tu quindi stai prendendo una f definita su un compatto X (che non fosse una variabile lo sospettavo
...) non si sa dove l'hai preso questo compatto ma da ciò che segue sembrerebbe tu stia parlando di un compatto di $RR$.Poi prendi 2 punti a e b in X e dici che a questa coppia di punti corrispondono max e min per f(x) che non si sa dove siano e quale rapporto abbiano con a e b.
Per quanto io stesso in un altro post abbia detto che la matematica contiene correnti e controcorrenti qui c'è poco da fare. Questa frase non ha senso. E tantomeno non esprime il teorema di weierstrass. E' come dire "Io ho cane ciao nastro adesivo perchè". Ha senso questa frase? NO! Se non ne sei convinto convincitene.
Nessuno qui vuole la precisione da logico, del tipo i quantificatori prima, ordinati, nessun carattere estraneo a quelli di Zermelo Fraenkel, ecc... Però almeno che le frasi che diciamo abbiano senso.
Poi tu chiami Y l'immagine del compatto X tramite la f. Vuoi dimostrare che esiste supY. Ma il sup di un insieme esiste sempre per banali proprietò di ordine in $RR$ (Se stiamo parlando ancora di $RR$). E' definito come il "minimo" (uso improprio per capirci) dei maggioranti dell'insieme se ce n'è almeno uno altrimenti come $+oo$.
Poi questa:
X compatto. significa che la f assumerà TUTTI i valori tra f(a) e f(b) estremi inclusi.
Come ti ho già detto l'ipotesi di compattezza non serve e non centra niente. Ti serve la connessione. E il teorema che ti dice che l'immagine continua di un connesso è connesso in spazi euclidei si chiama teorema dei valori intermedi e a quanto ne so è un corollario del teorerma di weierstrass.
Poi tu dici questo (scritto a parole):
... la f assume tutti i valori tra f(a) ed f(b) estremi inclusi QUINDI esiste f(x) per ogni x tra a e b. Ma questa è la proprietà di esistenza della funzione f. Cioè se ne stiamo parlando vuol dire che esiste quindi non ha senso questa deduzione.
Ora, non so quale sia il tuo livello di preparazione in matematica ma credo dovresti rivedere seriamente le basi. Se riesci a trovare una dimostrazione alternativa al teorema di weierstrass saremo felici di confrontarci con te (prometto che la prossima volta sarò meno antipatico!!) ma devi prima imparare ad esprimerti in termini matematici. ripeto: forse non te ne rendi conto, ma ciò che hai scritto non ha senso, non vuol dire nulla.
Permettimi un'altra cosa. Noi "un pochino più esperti" siamo abituati a lavorare con simboli logici e teoremi come quello di weierstrass fanno parte del nostro bagaglio di conoscenze "indiscutibili" come possono essere le tabelline. Pensa se uno venisdse da te e ti dicesse: "2 x 3 fa 18, 5 x 6 fa 81, ...", tu gli dici: " che diavolo stai blaterando?".. E' la stessa cosa. Non ti autobannare: il forum e la comunità in generale hanno bisogno di persone che provano a dire la loro e io ammiro molto questo. Solo che bisogna prima saper fare un po' di passi da solo e poi cominciare a saltellare...altrimenti cadi culo a terra... Citando un passaggio del film "Dead Poets Society"-"L'attimo fuggente" (il mio film preferito): "Non vogliamo ridere di te, vogliamo ridere con te!" Ti prego se hai bisogno di charimenti chiedi pure!
Megan, permettimi di esprimere la mia opinione. In questo forum - e non solo in questo forum - la cosa importante non è avere ragione, è discutere civilmente. Ora come Gringoire non è civile quando dice parolacce, tu non sei assolutamente civile quando dici:
Questa è una cosa che secondo me non hai il diritto di dire. E se la comprensione di questi argomenti da parte di Gringoire fosse pari alla tua, e il problema stesse solo nella sua difficoltà ad esporre le sue idee? Io continuo a credere che ciò sia possibile. Il fatto che tu abbia ragione matematicamente parlando non significa che puoi sovrastare e umiliare uno che sta solo cercando un chiarimento e/o una conferma.
"Megan00b":
Non hai capito una sega di come si usano i quantificatori, non hai capito una sega di cos'è un compatto, non hai capito una sega del teorema di weierstrass.
Questa è una cosa che secondo me non hai il diritto di dire. E se la comprensione di questi argomenti da parte di Gringoire fosse pari alla tua, e il problema stesse solo nella sua difficoltà ad esporre le sue idee? Io continuo a credere che ciò sia possibile. Il fatto che tu abbia ragione matematicamente parlando non significa che puoi sovrastare e umiliare uno che sta solo cercando un chiarimento e/o una conferma.
Hai ragione. Infatti è da 20 minuti che cerco di scrivere un altro post ma la mia connessione internet lagga da morire.
Ho esagerato e chiedo scusa a tutti in particolar modo a gringoire. Sono piuttosto nervoso ma non devo prendermela con il primo che capita anche se un pochino pochino se le tira.
Quindi confermo tutto ciò che ho detto sopra tranne la frase quotata da martino che era cattiva.
Ho esagerato e chiedo scusa a tutti in particolar modo a gringoire. Sono piuttosto nervoso ma non devo prendermela con il primo che capita anche se un pochino pochino se le tira.
Quindi confermo tutto ciò che ho detto sopra tranne la frase quotata da martino che era cattiva.
@Gringoire
non ti fidare troppo di wikipedia (a cui contribuisco):
http://it.wikipedia.org/wiki/Discussion ... di_Darboux
http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Darbo ... nalysis%29
http://it.wikipedia.org/wiki/Discussion ... i_Lagrange
non ti fidare troppo di wikipedia (a cui contribuisco):
http://it.wikipedia.org/wiki/Discussion ... di_Darboux
http://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Darbo ... nalysis%29
http://it.wikipedia.org/wiki/Discussion ... i_Lagrange
io chiedo scusa per le parolacce.
A questo punto, vi posto la dimostrazione come l'ha fatta il prof di analisi alla lavagna (primo anno di fisica) perchè proprio non capisco.
quel che vedrete, è lettera per lettera, la dimostrazione, con una qualche mia considerazione aggiunta, x test di verifica in caso non abbia capito).
f continua in X compatto => esiste max f(x) e min f(x)
dim:
f(X)=Y (codominio
max f(x) = max Y <=> sup Y $in$ Y
(per assurdo)
sup Y non appartiene a Y => $EE$ {y_n} (non ho tempo per andare a vede sintassi per y con n, perdonatemi) di infiniti punti di Y: lim y_n= sup Y (anche qui. il lim è per n-> infinito)
$AA$ n $in$ N sia x_n $in$ X: f(x_n)=y_n
X'={x1,x2,x3,...,x_n} contenuto in X (insieme dei valori della successione x_n)
X' è limitato e infinito, Limitato, perchè X è limitato, infinito perchè x_n è fatto da infinito punti in X.
Un teorema limitato e infinito, ammette almeno un punto di accumulazione per il teorema di Bolzano-Weierstrass.
x0 è quindi un punto di accumulazione per Dr(X') contenuto nel Dr (X) contenuto in X.
$EE$ una successione di punti di X' che converge a x0 <=> $EE$ {x_n_h}: lim x_n_h = x0 (sempre per h -> infinito)
per la continuità di f
f(x0) = lim f(x) = lim f(x_n_h) = lim y_n_h= sup Y
sup Y=f(x0)= max f(x) con x0 $in$ X
Non so a sto punto quante fesserie gli dirò dicendo quel che ho scritto qui.
A questo punto, vi posto la dimostrazione come l'ha fatta il prof di analisi alla lavagna (primo anno di fisica) perchè proprio non capisco.
quel che vedrete, è lettera per lettera, la dimostrazione, con una qualche mia considerazione aggiunta, x test di verifica in caso non abbia capito).
f continua in X compatto => esiste max f(x) e min f(x)
dim:
f(X)=Y (codominio
max f(x) = max Y <=> sup Y $in$ Y
(per assurdo)
sup Y non appartiene a Y => $EE$ {y_n} (non ho tempo per andare a vede sintassi per y con n, perdonatemi) di infiniti punti di Y: lim y_n= sup Y (anche qui. il lim è per n-> infinito)
$AA$ n $in$ N sia x_n $in$ X: f(x_n)=y_n
X'={x1,x2,x3,...,x_n} contenuto in X (insieme dei valori della successione x_n)
X' è limitato e infinito, Limitato, perchè X è limitato, infinito perchè x_n è fatto da infinito punti in X.
Un teorema limitato e infinito, ammette almeno un punto di accumulazione per il teorema di Bolzano-Weierstrass.
x0 è quindi un punto di accumulazione per Dr(X') contenuto nel Dr (X) contenuto in X.
$EE$ una successione di punti di X' che converge a x0 <=> $EE$ {x_n_h}: lim x_n_h = x0 (sempre per h -> infinito)
per la continuità di f
f(x0) = lim f(x) = lim f(x_n_h) = lim y_n_h= sup Y
sup Y=f(x0)= max f(x) con x0 $in$ X
Non so a sto punto quante fesserie gli dirò dicendo quel che ho scritto qui.
"Megan00b":
Solo che bisogna prima saper fare un po' di passi da solo e poi cominciare a saltellare...altrimenti cadi culo a terra... Citando un passaggio del film "Dead Poets Society"-"L'attimo fuggente" (il mio film preferito): "Non vogliamo ridere di te, vogliamo ridere con te!" Ti prego se hai bisogno di charimenti chiedi pure!
mi permetto di intervenire perche' vorrei farti notare che tale atteggiamento puo' risultare offensivo verso chi si confronta con te.
dici? a me non sembra. perchè offensivo? voglio dire che se si ha difficoltà con le basi non si dovrebbe tentare le cose difficili perchè si rischia di cadere.
Che abbia problemi con le basi questo è sicuro e non mi pare offensivo dirlo. L'hanno riconosciuto tutti... Non ho detto "deficiente non conosci le basi", ho detto "non conosci le basi ti spiego cosa hai sbagliato".
Se è offensivo dimmi perchè? Sul serio non lo capisco.
Che abbia problemi con le basi questo è sicuro e non mi pare offensivo dirlo. L'hanno riconosciuto tutti... Non ho detto "deficiente non conosci le basi", ho detto "non conosci le basi ti spiego cosa hai sbagliato".
Se è offensivo dimmi perchè? Sul serio non lo capisco.
è tutto il pomeriggio che la mia connessione va mel quindi non so se riesco a rispondere. Se non ci riesco lo farò domani.
Ok. Proviamo a fare un po' di ordine:
esistono massimo e minimo su X e non è superfluo perchè è questo il senso del teorema.
qui non è chiaro. Innanzitutto il max è su X e andrebbe specificato. Poi non sai ancora che esiste quindi come fai a parlarne. E' quello che devi dimostrare.
Io direi $EE max_Xf <=> $supY=supf(X)$ in$ Y=f(X) <--- nota: qui la X è maiuscola, intendo l'immagine del compatto.
la sintassi è corretta, se l'avessi messo tra simboli di dollaro avrebbe funzionato.
Se vuoi scrivere il limite la sintassi lim_{x to x_0}f(x) e ottieni $lim_{x to x_0}f(x)$
te lo dico se in futuro ti servisse.
Per la sostanza: se il sup di Y non sta in Y possiamo comunque trovare una successione tutta contenuta in Y che converge a supY. E ci siamo.
Devi cercare di scrivere bene perchè chi prova a risponderti non debba perdere troppo tempo a interpretare. Se vuoi essere aiutato cerca di mettere gli altri in condizione di farlo.
$X'={x_1,x_2,...,x_n,...} sub X$ è limitato e infinito.
Vuoi dire un insieme limitato e infinito
Questa ci ho messo un po' per capirla.
Tu vuoi dire che esiste un punto di accumulazione PER X' cioè un punto di Dr(X') (suppongo intendi il derivato di X' cioè l'insieme dei punti di accumulazione) che quindi è un punto di accumulazione anche per X.
E' un po' forzato: cioè non è chiaro quale sia il legame tra $x_0$ e $x_(n_k)$
Io direi più semplicemente: da una successione ${x_n}$ contenuta in un compatto si può estrarre una sottosuccessione convergente {x_(n_h)} ad un punto del compatto (per il teorema di B-W)
Anche qui se ho capito cosa dici è forzatissimo. Il fatto è che tu hai la successione $x_n$ che converge a supY. Poi osservi che x_n è contenuta in un compatto cioè chiuso e limitato.
Lemma 1 ) Una successione reale limitata contiene una sottosuccessione convergente (Corollario banale del th di B-W)
Il fatto che X sia compatto quindi in particolare limitato quindi che x_n sia limitata ti dice che ne puoi estrarre una sottosuccessione convergente x_n_h. Il limite di x_n_h è per definizione un punto di accumulazione per X. Inoltre x_n_h converge ma anche x_n converge e quindi i due limiti devono essere uguali. Cioè l'unico limite di cui stiamo parlando è supY. Cioè supY è di accumulazione per X.
Lemma 2 (per certi testi è una definizione) Un chiuso è un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
X è compatto quindi in particolare chiuso. Allora supY appartiene a Y.
Questa è "a braccia" la dimostrazione corretta. E mi sembra anche abbastanza breve quindi temo non ci siano molti margini di miglioramento.
Beh le possibilità sono 2: o hai copiato male o il tuo prof ha fatto la dimostrazione a "pene di segugio". In entrambi i casi spero che adesso ti sia chiara. Ancora una volta se hai bisogno di chiarimenti chiedi pure. Possibilmente usa la sintassi matematica ove opportuno perchè è più leggibile.
"Gringoire":
io chiedo scusa per le parolacce.
A questo punto, vi posto la dimostrazione come l'ha fatta il prof di analisi alla lavagna (primo anno di fisica) perchè proprio non capisco.
quel che vedrete, è lettera per lettera, la dimostrazione, con una qualche mia considerazione aggiunta, x test di verifica in caso non abbia capito).
f continua in X compatto => esiste max f(x) e min f(x)
esistono massimo e minimo su X e non è superfluo perchè è questo il senso del teorema.
"Gringoire":
dim:
f(X)=Y (codominio
max f(x) = max Y <=> sup Y $in$ Y
qui non è chiaro. Innanzitutto il max è su X e andrebbe specificato. Poi non sai ancora che esiste quindi come fai a parlarne. E' quello che devi dimostrare.
Io direi $EE max_Xf <=> $supY=supf(X)$ in$ Y=f(X) <--- nota: qui la X è maiuscola, intendo l'immagine del compatto.
"Gringoire":
(per assurdo)
sup Y non appartiene a Y => $EE$ {y_n} (non ho tempo per andare a vede sintassi per y con n, perdonatemi) di infiniti punti di Y: lim y_n= sup Y (anche qui. il lim è per n-> infinito)
la sintassi è corretta, se l'avessi messo tra simboli di dollaro avrebbe funzionato.
Se vuoi scrivere il limite la sintassi lim_{x to x_0}f(x) e ottieni $lim_{x to x_0}f(x)$
te lo dico se in futuro ti servisse.
Per la sostanza: se il sup di Y non sta in Y possiamo comunque trovare una successione tutta contenuta in Y che converge a supY. E ci siamo.
"Gringoire":
$AA$ n $in$ N sia x_n $in$ X: f(x_n)=y_n
X'={x1,x2,x3,...,x_n} contenuto in X (insieme dei valori della successione x_n)
X' è limitato e infinito, Limitato, perchè X è limitato, infinito perchè x_n è fatto da infinito punti in X.
Devi cercare di scrivere bene perchè chi prova a risponderti non debba perdere troppo tempo a interpretare. Se vuoi essere aiutato cerca di mettere gli altri in condizione di farlo.
$X'={x_1,x_2,...,x_n,...} sub X$ è limitato e infinito.
"Gringoire":
Un teorema limitato e infinito,
Vuoi dire un insieme limitato e infinito
"Gringoire":
ammette almeno un punto di accumulazione per il teorema di Bolzano-Weierstrass.
x0 è quindi un punto di accumulazione per Dr(X') contenuto nel Dr (X) contenuto in X.
Questa ci ho messo un po' per capirla.
Tu vuoi dire che esiste un punto di accumulazione PER X' cioè un punto di Dr(X') (suppongo intendi il derivato di X' cioè l'insieme dei punti di accumulazione) che quindi è un punto di accumulazione anche per X.
"Gringoire":
$EE$ una successione di punti di X' che converge a x0 <=> $EE$ {x_n_h}: lim x_n_h = x0 (sempre per h -> infinito)
E' un po' forzato: cioè non è chiaro quale sia il legame tra $x_0$ e $x_(n_k)$
Io direi più semplicemente: da una successione ${x_n}$ contenuta in un compatto si può estrarre una sottosuccessione convergente {x_(n_h)} ad un punto del compatto (per il teorema di B-W)
"Gringoire":
per la continuità di f
f(x0) = lim f(x) = lim f(x_n_h) = lim y_n_h= sup Y
sup Y=f(x0)= max f(x) con x0 $in$ X
Anche qui se ho capito cosa dici è forzatissimo. Il fatto è che tu hai la successione $x_n$ che converge a supY. Poi osservi che x_n è contenuta in un compatto cioè chiuso e limitato.
Lemma 1 ) Una successione reale limitata contiene una sottosuccessione convergente (Corollario banale del th di B-W)
Il fatto che X sia compatto quindi in particolare limitato quindi che x_n sia limitata ti dice che ne puoi estrarre una sottosuccessione convergente x_n_h. Il limite di x_n_h è per definizione un punto di accumulazione per X. Inoltre x_n_h converge ma anche x_n converge e quindi i due limiti devono essere uguali. Cioè l'unico limite di cui stiamo parlando è supY. Cioè supY è di accumulazione per X.
Lemma 2 (per certi testi è una definizione) Un chiuso è un insieme che contiene tutti i suoi punti di accumulazione.
X è compatto quindi in particolare chiuso. Allora supY appartiene a Y.
Questa è "a braccia" la dimostrazione corretta. E mi sembra anche abbastanza breve quindi temo non ci siano molti margini di miglioramento.
"Gringoire":
Non so a sto punto quante fesserie gli dirò dicendo quel che ho scritto qui.
Beh le possibilità sono 2: o hai copiato male o il tuo prof ha fatto la dimostrazione a "pene di segugio". In entrambi i casi spero che adesso ti sia chiara. Ancora una volta se hai bisogno di chiarimenti chiedi pure. Possibilmente usa la sintassi matematica ove opportuno perchè è più leggibile.
Un suggerimento: cercate di non ingigantire troppo il problema e evidenziare i punti essenziali del ragionamento, senza scendere troppo nel formalismo.....
@Luca: ok, che miglioramenti proponi?
... adoro il formalismo... finchè non diventa formalina
... adoro il formalismo... finchè non diventa formalina
I punti essenziali sono due: la convergenza della successione minimizzante, a meno di estrazione, che è garantita dalla compattezza dell'intervallo, e in un secondo tempo la continuità della funzione, che permette di dire che l'estremo inferiore è raggiunto. Una volta che uno ha fissato queste due idee tutto il resto viene di conseguenza, senza esagerare con la formalizzazione.
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