Dimostrazione teorema di Leibniz

[rocco.g1]

Hey ragazzi, oggi stavo rileggendo la dimostrazione del teorema di leibniz per le serie a termini alterni ed ho incontrato problemi nel capirla... sul libro è spiegata male... qualcuno di voi potrebbe spiagarmela meglio ?

grazie...

[Sk_Anonymous]

Allora, il primo passo e' far vedere che la somma parziale dei termini (-1)^n x_n per n da 0 a 2k (che indico con S_1(k)) tende a S_1 che non puo' essere + infinito; e per far vedere questo, basta osservare (ed e' un conto elementare) che S_1(k+1) < S(1(k) (qui si usa il fatto che x_n decresce): quindi il limite di S_1 esiste e non e' +infinito, poiche' S_1 decresce.

Analogamente, se indichi con S_2(k) la somma dei termini della serie per n da 0 a (2k+1), allora un conto analogo dimostra che S_2(k)cresce; allora il limite di S_2(k), che indico con S_2, non puo' essere -infinito.

Ora, per finire basta osservare che il valore della serie e' S_1=S_2 (e qui si usa il fatto che x_n va a 0): dunque S=S_1=S_2 e' finito.

Luca.

[rocco.g1]

ok grazie Luca !

[Principe2]

rocco: ti volevo far osservare che il criterio di Leibnitz contiene una seconda tesi, che dice che |s - s(n)| <= a(n+1), essendo s la somma della serie, s(n) la ridotta n-esima e a(n+1) il termine n+1-esimo della serie; e questa tesi è molto utile per studiare la convergenza uniforme di serie di funzioni a segno alterno.

ciao, ubermensch