Dimostrazione teorema di laplace
Ciao a tutti, Qualcuno sa dirmi dove posso trovare una dimostrazione del teorema di laplace per il calcolo dei determinanti? Perchè ho un esame tra un paio di giorni e devo portare anche una piccola relazione su un matematico (ho scelto laplace) e dovrei inserire la dimostrazione: il problema è che non ho un programma che mi permette di inserire tutti i simboli matematici e quindi dovrei cercarla su internet ma nn la trovo. Qualcuno può aiutarmi? Vi prego è urgente!!
Allora con un po' di fatica sono riuscita a scrivere la dimostrazione, solo che c'è una piccola parte che me manca, non è che qualcuno potrebbe aiutarmi a finirla? Allego il file con il documento (la pate che mi manca lo scritta in parentesi quadra). Inoltre potreste vedere se la dimostrazione è giusta o se magari o dimenticato dei pezzi? Inoltre c'è anche un pezzo sulla vita di Laplace che però devo finire ma mentre la facevo ho incontrato 2 nomi:
d?Alembert e Vandermonde mi potreste dire in una riga perchè sono famosi? perchè sono sicura che il mio prof me lo chiederà. grazie mille in anticipo!!!
PIERRE-SIMON LAPLACE
Pierre Simon Laplace nacque il 23 marzo 1749 a Beaumont-en-Auge in Normandia e morì il 5 marzo 1827 a Parigi. Nonostante le sue modeste origini riuscì a frequentare una scuola militare nella sua città natale dove vi rimase fino a 16 anni. Successivamente entrò all’università di Caen e lì rivelò il suo talento matematico e l’amore per questa materia. Dopo 2 anni lasciò Caen e si recò a Parigi portando con sé una lettera di raccomandazione (scrittagli da Le Canu, suo insegnante a Caen) per d’Alembert e anche se aveva solo 19 anni lo impressionò subito tanto che quest’ultimo decise di seguirlo nei suoi studi matematici. Inoltre gli fece avere un posto come professore di matematica alla scuola militare in modo che Laplace potesse guadagnare abbastanza soldi per mantenersi a Parigi. In quegli anni si distinse per i suoi studi nel campo della matematica e dell’astronomia. Nel 1771 Laplace tentò per la prima volta di essere eletto all’Accademia delle scienze ma gli fu preferito Vandermonde e due anni dopo, il 31 marzo del 1773, a soli 24 anni Laplace fu eletto all’Accademia delle scienze.
Teorema di Laplace per il calcolo dei determinanti: Se A=(aij)i,j=1,…,n una matrice quadrata di ordine n≥2 su un campo K, il determinate │A│ è somma dei prodotti degli elementi di una riga [risp. Colonna] per i rispettivi complementi algebrici. Si hanno le seguenti formule rispetto alla riga i-esima e alla colonna j-esima con la regola di Laplace:
│A│=ai1Ai1+…..+ainAin, │A│=a1jA1j+…..+anjAnj per ogni i=1,…..,n e per ogni j=1,…..,n
Dimostrazione: basta dimostrare il teorema per gli sviluppi per colonne. Per dimostrare il teorema basta far vedere che, per ogni fissato j=1,….,n l’applicazione
ɸ: A M(n,n,K)→a1jA1j+……anjAnj ϵ K
è multilineare alternante sulle righe di A e assume il valore 1 sulla matrice identica.
Si fissi un i=1,….,n e supponiamo che la riga i-esima di A sia somma dei vettori aʹi=(aʹi1,….,aʹin) e a˝i(a˝i1,….,a˝in) tale che per ogni l=1,….,n si ha
ail=aʹil+a˝il.
Indichiamo con Aʹ e A le matrici ottenute da A sostituendone rispettivamente la riga i-esima con aʹi e a˝i. per ogni m≠i e per ogni j=1,…,n si ha
Amj=Aʹmj+A˝mj
Mentre invece
Aij=Aʹij+A˝ij.
Quindi
ɸ(A)=a1jA1j+…….+anjAnj=
a1j(Aʹ1j+A˝1j)+……+ai-1,j(Aʹi-1,j+A˝i-1,j)+(aʹij+a˝ij)Aij+ai+1,j(Aʹi+1,j+A˝i+1,j)+……+anj(Aʹnj+A˝nj)=
(aʹ1jAʹ1j+…..+aʹi-1,jAʹi-1,j+aʹijAij+aʹi+1,jAʹi+1,j+…..+aʹinAʹin)+
+(a˝1jA˝1j+……+a˝i-1,jA˝i-1,j+a˝ijAij+a˝i+1,jA˝i+1,j+…..+a˝inA˝in)= ɸ(Aʹ)+ɸ(A˝)
Il che prova che gode della proprietà che dice che per ogni coppia (v,w) di vettori di V si ha
f(v+w)= f(v)+f(w)
[dovrei provare che per ogni vettore v di V e per ogni scalare k f(kv)=kf(v) qualcuno mi saprebbe fare il procedimento?] Verificando anche questa proprietà si ha che ɸ è multilineare. Quindi ora bisogna provare che ɸ è alternante. Supponiamo che in A siano uguali le righe di posti l e m, con l˂m, quindi si ha
aij=amj
per ogni j=1,…,n. di conseguenza si ha Aij=0, per ogni i≠l,m, in quanto i relativi minori A̅ij hanno due righe uguali. D’altra parte cancellando da A una qualunque colonna e la riga l-esima si ottiene la stessa matrice che si otterrebbe da A cancellando la stessa colonna e la riga m-esima e poi scambiandone successivamente la riga l-esima con le righe successive fino a metterla al posto
(m-1)-esimo. Dunque si ha
Aij=(-1)l+jA̅lj=(-1)m-1-l[(-1)m-1-lAmj]= -(-1)m-1-lA̅mj= -Amj.
Quindi si ha
ɸ(A)=a1jA1j+…..+anjAnj=aljAlj+amjAmj= -amjAmj+amjAmj=0
e ciò prova che ɸ è alternante.
Proviamo infine che ɸ(In)=1. Infatti in tal caso, essendo aij=0 se i≠j e aij=1 per ogni i,j=1,…..,n si ha
ɸ(A)=a1jA1j+……+anjAnj=ajjAjj=(-1)j+jA̅jj= A̅jj che non è altro che il determinante della matrice In-1 e quindi vale 1.
Allora con un po' di fatica sono riuscita a scrivere la dimostrazione, solo che c'è una piccola parte che me manca, non è che qualcuno potrebbe aiutarmi a finirla? Allego il file con il documento (la pate che mi manca lo scritta in parentesi quadra). Inoltre potreste vedere se la dimostrazione è giusta o se magari o dimenticato dei pezzi? Inoltre c'è anche un pezzo sulla vita di Laplace che però devo finire ma mentre la facevo ho incontrato 2 nomi:
d?Alembert e Vandermonde mi potreste dire in una riga perchè sono famosi? perchè sono sicura che il mio prof me lo chiederà. grazie mille in anticipo!!!
PIERRE-SIMON LAPLACE
Pierre Simon Laplace nacque il 23 marzo 1749 a Beaumont-en-Auge in Normandia e morì il 5 marzo 1827 a Parigi. Nonostante le sue modeste origini riuscì a frequentare una scuola militare nella sua città natale dove vi rimase fino a 16 anni. Successivamente entrò all’università di Caen e lì rivelò il suo talento matematico e l’amore per questa materia. Dopo 2 anni lasciò Caen e si recò a Parigi portando con sé una lettera di raccomandazione (scrittagli da Le Canu, suo insegnante a Caen) per d’Alembert e anche se aveva solo 19 anni lo impressionò subito tanto che quest’ultimo decise di seguirlo nei suoi studi matematici. Inoltre gli fece avere un posto come professore di matematica alla scuola militare in modo che Laplace potesse guadagnare abbastanza soldi per mantenersi a Parigi. In quegli anni si distinse per i suoi studi nel campo della matematica e dell’astronomia. Nel 1771 Laplace tentò per la prima volta di essere eletto all’Accademia delle scienze ma gli fu preferito Vandermonde e due anni dopo, il 31 marzo del 1773, a soli 24 anni Laplace fu eletto all’Accademia delle scienze.
Teorema di Laplace per il calcolo dei determinanti: Se A=(aij)i,j=1,…,n una matrice quadrata di ordine n≥2 su un campo K, il determinate │A│ è somma dei prodotti degli elementi di una riga [risp. Colonna] per i rispettivi complementi algebrici. Si hanno le seguenti formule rispetto alla riga i-esima e alla colonna j-esima con la regola di Laplace:
│A│=ai1Ai1+…..+ainAin, │A│=a1jA1j+…..+anjAnj per ogni i=1,…..,n e per ogni j=1,…..,n
Dimostrazione: basta dimostrare il teorema per gli sviluppi per colonne. Per dimostrare il teorema basta far vedere che, per ogni fissato j=1,….,n l’applicazione
ɸ: A M(n,n,K)→a1jA1j+……anjAnj ϵ K
è multilineare alternante sulle righe di A e assume il valore 1 sulla matrice identica.
Si fissi un i=1,….,n e supponiamo che la riga i-esima di A sia somma dei vettori aʹi=(aʹi1,….,aʹin) e a˝i(a˝i1,….,a˝in) tale che per ogni l=1,….,n si ha
ail=aʹil+a˝il.
Indichiamo con Aʹ e A le matrici ottenute da A sostituendone rispettivamente la riga i-esima con aʹi e a˝i. per ogni m≠i e per ogni j=1,…,n si ha
Amj=Aʹmj+A˝mj
Mentre invece
Aij=Aʹij+A˝ij.
Quindi
ɸ(A)=a1jA1j+…….+anjAnj=
a1j(Aʹ1j+A˝1j)+……+ai-1,j(Aʹi-1,j+A˝i-1,j)+(aʹij+a˝ij)Aij+ai+1,j(Aʹi+1,j+A˝i+1,j)+……+anj(Aʹnj+A˝nj)=
(aʹ1jAʹ1j+…..+aʹi-1,jAʹi-1,j+aʹijAij+aʹi+1,jAʹi+1,j+…..+aʹinAʹin)+
+(a˝1jA˝1j+……+a˝i-1,jA˝i-1,j+a˝ijAij+a˝i+1,jA˝i+1,j+…..+a˝inA˝in)= ɸ(Aʹ)+ɸ(A˝)
Il che prova che gode della proprietà che dice che per ogni coppia (v,w) di vettori di V si ha
f(v+w)= f(v)+f(w)
[dovrei provare che per ogni vettore v di V e per ogni scalare k f(kv)=kf(v) qualcuno mi saprebbe fare il procedimento?] Verificando anche questa proprietà si ha che ɸ è multilineare. Quindi ora bisogna provare che ɸ è alternante. Supponiamo che in A siano uguali le righe di posti l e m, con l˂m, quindi si ha
aij=amj
per ogni j=1,…,n. di conseguenza si ha Aij=0, per ogni i≠l,m, in quanto i relativi minori A̅ij hanno due righe uguali. D’altra parte cancellando da A una qualunque colonna e la riga l-esima si ottiene la stessa matrice che si otterrebbe da A cancellando la stessa colonna e la riga m-esima e poi scambiandone successivamente la riga l-esima con le righe successive fino a metterla al posto
(m-1)-esimo. Dunque si ha
Aij=(-1)l+jA̅lj=(-1)m-1-l[(-1)m-1-lAmj]= -(-1)m-1-lA̅mj= -Amj.
Quindi si ha
ɸ(A)=a1jA1j+…..+anjAnj=aljAlj+amjAmj= -amjAmj+amjAmj=0
e ciò prova che ɸ è alternante.
Proviamo infine che ɸ(In)=1. Infatti in tal caso, essendo aij=0 se i≠j e aij=1 per ogni i,j=1,…..,n si ha
ɸ(A)=a1jA1j+……+anjAnj=ajjAjj=(-1)j+jA̅jj= A̅jj che non è altro che il determinante della matrice In-1 e quindi vale 1.
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