Dimostrazione teorema del Confronto Asintotico
Sto provando a dimostrare il teorema in oggetto, ma purtroppo nessuno dei miei testi di analisi riporta la dimostrazione e non riesco a trovarla in rete 
Così chiedo a voi un aiutino!
Date 2 successioni ${a_k}_(k in NN)$ e ${b_k}_(k in NN)$, con $a_k >= 0$ e $b_k > 0$, sia $lim_(k to +oo)a_k/b_k = l in RR oppure = +oo$
Se:
1) $l != +oo$ $sum_(k=1)^(+oo)b_k$ converge $=> sum_(k=1)^(+oo)a_k$ converge
2) $l != 0$ $sum_(k=1)^(+oo)b_k$ diverge $=> sum_(k=1)^(+oo)a_k$ diverge
Il punto 1) CREDO si possa dimostrare nel seguente modo:
poniamo $s_n = sum_(k=1)^(n)a_k$ e $t_n = sum_(k=1)^(n)b_k$
$AA epsilon > 0 EE n_(epsilon) in NN: l - epsilon < a_k/b_k < l + epsilon$ per $k > n_(epsilon), k in NN$
prendiamo $epsilon = 1$
$a_k < (l+1)b_k AA k > n_1$
se $n > n_1$
$s_n = a_1 + a_2 + ... + a_(n_1) + a_(n_1 + 1) + a_(n_1 + 2) + ... + a_n$
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)(t_n - t_(n_1))$
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)t_n$
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)sum_(k=1)^(+oo)b_k$
$s_n <= M in RR$
Il punto 1) in questo modo dovrebbe essere dimostrato.. mentre per il punto 2 non so come procedere
Qualche idea? Grazie!
Così chiedo a voi un aiutino!
Date 2 successioni ${a_k}_(k in NN)$ e ${b_k}_(k in NN)$, con $a_k >= 0$ e $b_k > 0$, sia $lim_(k to +oo)a_k/b_k = l in RR oppure = +oo$
Se:
1) $l != +oo$ $sum_(k=1)^(+oo)b_k$ converge $=> sum_(k=1)^(+oo)a_k$ converge
2) $l != 0$ $sum_(k=1)^(+oo)b_k$ diverge $=> sum_(k=1)^(+oo)a_k$ diverge
Il punto 1) CREDO si possa dimostrare nel seguente modo:
poniamo $s_n = sum_(k=1)^(n)a_k$ e $t_n = sum_(k=1)^(n)b_k$
$AA epsilon > 0 EE n_(epsilon) in NN: l - epsilon < a_k/b_k < l + epsilon$ per $k > n_(epsilon), k in NN$
prendiamo $epsilon = 1$
$a_k < (l+1)b_k AA k > n_1$
se $n > n_1$
$s_n = a_1 + a_2 + ... + a_(n_1) + a_(n_1 + 1) + a_(n_1 + 2) + ... + a_n$
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)(t_n - t_(n_1))$
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)t_n$
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)sum_(k=1)^(+oo)b_k$
$s_n <= M in RR$
Il punto 1) in questo modo dovrebbe essere dimostrato.. mentre per il punto 2 non so come procedere
Qualche idea? Grazie!
Risposte
Prova per assurdo usando il punto 1).
"Luca.Lussardi":
Prova per assurdo usando il punto 1).
Grazie per la risposta!
Intendi di provare che:
se $l != 0$ $sum_(k=1)^(+oo)b_k$ diverge $=> sum_(k=1)^(+oo)a_k$ converge
è un assurdo?
Usando la dimostrazione del punto 1) arrivo a:
$s_n <= s_(n_1) + (l+1)sum_(k=1)^(+oo)b_k$
quello che c'è a destra della disuguaglianza diverge.. ma quello a sinistra potrebbe convergere come divergere.. o sbaglio?
Dimostrare per assurdo $A =>B$ significa dimostrare che $nonB => nonA$.
"Luca.Lussardi":
Dimostrare per assurdo $A =>B$ significa dimostrare che $nonB => nonA$.
Allora:
$A =>B$ diventa $l != 0$ $sum_(k=1)^(+oo)b_k$ diverge $=> sum_(k=1)^(+oo)a_k$ diverge
e noi vogliamo dimostrare:
$nonB => nonA$ che diventa $sum_(k=1)^(+oo)a_k$ converge $=> sum_(k=1)^(+oo)b_k$ converge
E quest'ultima è dimostrata dal punto 1) ? non ne esco..
Invece pensavo.. riprendo la dimostrazione del punto 1 da:
$l - epsilon < a_k/b_k < l + epsilon$
e prendiamo questa volta la disuguaglianza a sinistra, ottenendo:
$s_n >= s_(n_1) + (l-1)sum_(k=1)^(+oo)b_k$
per $l > 1$ ciò che c'è a destra diverge, quindi anche la somma a sinistra, e il teorema è dimostrato.
Il teorema però dovrebbe essere vero anche per $l = 1$ ma in questo caso per $l = 1$ non possiamo concludere nulla..
Ma scusa: se la serie degli $a_k$ converge, sai che $b_k/a_k \to 1/l \ne +\infty$, e quindi per il punto 1 la serie dei $b_k$ converge, che e' assurdo.
Ups, hai ragione.. mi stavo perdendo in un bicchier d'acqua..
Grazie ancora.
Grazie ancora.
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