Dimostrazione su una successione stret. crescente

[valesyle92]

Buongiorno a tutti! Ho una dimostrazione da studiare ma non capisco un passaggio...
Data una successione ${K_n}$ in N strettamente crescente risulta $K_n > = n$ per ogni n

dimostrazione


Se non è vera abbiamo $K_n < n $ per un $n_ o$


Siccome $n$ --------> $K_n $ è una funzione iniettiva deve essere che

$n_o +1 = { 0,......n_o} = { K_o,......K_(n_o)} < = K_(n_o) +1 $ inoltre $ K_o < K_1 < K_(n_o) $

confrontando gli estremi $n_o +1 <= K_(n_o) +1 $ segue che $ n_o <= K_(n_o) < n_o $ quindi $n_o < n_o $assurdo .

Quello che non capisco è $ n_o +1 = { 0,......n_o} $ e perchè $n_o +1 <= K_(n_o) +1 $ ???? Graziee a tutti !!!!

[Seneca1]

Io la proverei per induzione su $n$...

$K_0 >= 0$ (la base dell'induzione).

Supponiamo che si abbia $K_(n - 1) >= n - 1$ e proviamo che allora deve essere $K_n >= n$.

$K_n + 1 > K_(n - 1) + 1 >= n - 1 + 1$

Quindi $K_n + 1 > n$ e poiché $K_n in NN$, $K_n >= n$.

[valesyle92]

e se invece di scegliere $K_(n-1) $ scelgo $ K_(n+1)$ ??

[Seneca1]

Vale a dire?

[valesyle92]

$K_0 >= 0 $


$K_(n+1) >= n+1 $ cosi intendevo



posso scrivere $ K_(n+1) >= K_n >= n >= n+1 $


quindi vera...

[Seneca1]

Dubito fortemente che $n >= n + 1$...

[valesyle92]

sisi e' vero. ... ho sbagliato di scrivere.... XD comunque intendevo appunto utilizzando in qualche modo $ K_(n+1)$ ecco.. si puo?

[Seneca1]

Intendi per induzione? Sì, sulla falsariga di quello che ho scritto io puoi assumere come ipotesi induttiva $K_n >= n$ e dimostrare $K_(n+1) >= n+1$. E' la stessa identica cosa; dimostrando questo ottieni che $K_n >= n$ , $AA n in NN$.

[valesyle92]

ok... ottimo grazie Seneca