Dimostrazione su un insieme derivato
mi aiutate a dimostrare la vericità di questa affermazione?
Il derivato dell'insieme $ {x in Q : 0<= x< 1}=[0,1] $
conosco la def di punto di accumulazione presa dal libro che consiste nel verificare se esite una successione per l'insieme X ,con limite c per dire che c è di accumulazione per X...
Il derivato dell'insieme $ {x in Q : 0<= x< 1}=[0,1] $
conosco la def di punto di accumulazione presa dal libro che consiste nel verificare se esite una successione per l'insieme X ,con limite c per dire che c è di accumulazione per X...
Risposte
Beh come hai detto il derivato di quell'insieme chiamiamolo A è l'insieme dei suoi punti di accumulazione.
Ora una cosa è certa,tutti i razionali compresi tra 0 e 1 appartengono al derivato, Infatti qualsiasi successione del tipo $a-1/n in A AAn$ con a elemento di A converge ad a. 0 e 1 appartengono al derivato anche essi, infatti esiste la successione di numeri in A del tipo $1/n in A AAn$ che per $n->oo$ ha come limite proprio 0. Stessa cosa la successione $1-1/n$ converge a 1.
A questo punto però ci sono degli elementi $x in R$ che non appartengono ad A e che però sono di accumulazione. Questi sono i numeri $ω in Π : 0<=ω<1$ con Π insieme dei numeri irrazionali compresi tra 0 e 1. Saprai sicuramente che i razionali sono densi in R e quindi tutti i restanti elementi del derivato di A sono esattamente gli elementi ω di quell'insieme.
Unendo gli insieme trovati otteniamo l'intervallo 0,1.
Ora una cosa è certa,tutti i razionali compresi tra 0 e 1 appartengono al derivato, Infatti qualsiasi successione del tipo $a-1/n in A AAn$ con a elemento di A converge ad a. 0 e 1 appartengono al derivato anche essi, infatti esiste la successione di numeri in A del tipo $1/n in A AAn$ che per $n->oo$ ha come limite proprio 0. Stessa cosa la successione $1-1/n$ converge a 1.
A questo punto però ci sono degli elementi $x in R$ che non appartengono ad A e che però sono di accumulazione. Questi sono i numeri $ω in Π : 0<=ω<1$ con Π insieme dei numeri irrazionali compresi tra 0 e 1. Saprai sicuramente che i razionali sono densi in R e quindi tutti i restanti elementi del derivato di A sono esattamente gli elementi ω di quell'insieme.
Unendo gli insieme trovati otteniamo l'intervallo 0,1.
spiegazione chiarissima grazie 
volevo chiederti però se per te andava bene scrivere una cosa del genere:
cioè partendo dall'ipotetico insieme derivato ...
notiamo che per ogni $ x0 in [0,1] $ esiste un intorno $ (x0,e) $ con $ e> 1/n $ $ AA nin N\\ 0 $ dove troverò sicuramente un punto appartenente all'insieme di partenza A
volevo chiederti però se per te andava bene scrivere una cosa del genere:
cioè partendo dall'ipotetico insieme derivato ...
notiamo che per ogni $ x0 in [0,1] $ esiste un intorno $ (x0,e) $ con $ e> 1/n $ $ AA nin N\\ 0 $ dove troverò sicuramente un punto appartenente all'insieme di partenza A
Si va benissimo direi. In quell'intorno trovi sempre infiniti punti appartenenti all'insieme A.
In questo modo hai dimostrato che l'intervallo 0,1 è contenuto nel derivato, ma non è necessariamente tutto il derivato. Tuttavia mostrare che non esistono altri elementi di R nel derivato è banale, basta prendere l'intorno di -e con e a piacere ed esiste sempre una ampiezza che rende l'intorno tutto fuori il derivato, stessa cosa per 1+e.
In questo modo hai dimostrato che l'intervallo 0,1 è contenuto nel derivato, ma non è necessariamente tutto il derivato. Tuttavia mostrare che non esistono altri elementi di R nel derivato è banale, basta prendere l'intorno di -e con e a piacere ed esiste sempre una ampiezza che rende l'intorno tutto fuori il derivato, stessa cosa per 1+e.
ok 
quindi per completezza diciamo che ogni x appartenente al restante intervallo $ (-oo ,0)uu (1,+oo ) $ non potrà essere di accumulazione perchè troveremo sempre per x un intorno dove non ci saranno punti di A...
quindi per completezza diciamo che ogni x appartenente al restante intervallo $ (-oo ,0)uu (1,+oo ) $ non potrà essere di accumulazione perchè troveremo sempre per x un intorno dove non ci saranno punti di A...
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