Dimostrazione proprietà estremo inferioriore

[Jack871]

Ciao.

Siano $I = [a,b]$ un intervallo e $f, g : I to RR$ due funzioni limitate. Vorrei dimostrare che:

$\text{inf } f(I) + \text{inf } g(I) <= \text{inf } (f+g)(I)$


Ho provato a partire dal presupposto che:

$\text{inf } f(I) <= f(x)$ per ogni $x in I$ e $\text{inf } g(I) <= g(x)$ per ogni $x in I$

quindi

$\text{inf } f(I) + \text{inf } g(I) <= f(x) + g(x) = (f+g)(x)$ per ogni $x in I$

Ma ora non so come sfruttare questo fatto per concludere la dimostrazione.

Grazie!

[Jack871]

Aggiungo una seconda dimostrazione.

Sia $f$ la funzione descritta sopra.

Ponendo $l := \text{inf } f(I)$, $L := \text{sup } f(I)$ e $l' := \text{inf } |f|(I)$, $L' := \text{sup } |f|(I)$.

Dimostrare che $L' - l' <= L - l$.

Grazie!