Dimostrazione per induzione
Salve, sto provando a dimostrare per induzione che $ab+1<=a+b$:
Passo base $(a = 1)$:
Per$ a = 1$, la disuguaglianza diventa $1*b + 1 \leq 1 + b$, che si semplifica in $b + 1 \leq 1 + b$. Questo è chiaramente vero per tutti i valori di $b <= 1$.
Passo di induzione:
supponiamo che la disuguaglianza sia vera per un certo valore $n$, cioè $n*b + 1 \leq n + b$. Dobbiamo dimostrare che la disuguaglianza è vera anche per $n + 1$, cioè $(n+1)*b + 1 \leq n + 1 + b$.
Partendo dalla nostra ipotesi induttiva, abbiamo:
$n*b + 1 \leq n + b$
$=>$ $n*b + b + 1 \leq n + b + 1$ (aggiungendo b da entrambe le parti)
$=>$ $(n+1)*b + 1 \leq n + 1 + b$
Quindi, per il principio di induzione matematica, la disuguaglianza $ab + 1 \leq a + b$ è vera per tutti i valori di $a >= 1$ e $b <= 1$.
Cosa ne pensate? grazie
Passo base $(a = 1)$:
Per$ a = 1$, la disuguaglianza diventa $1*b + 1 \leq 1 + b$, che si semplifica in $b + 1 \leq 1 + b$. Questo è chiaramente vero per tutti i valori di $b <= 1$.
Passo di induzione:
supponiamo che la disuguaglianza sia vera per un certo valore $n$, cioè $n*b + 1 \leq n + b$. Dobbiamo dimostrare che la disuguaglianza è vera anche per $n + 1$, cioè $(n+1)*b + 1 \leq n + 1 + b$.
Partendo dalla nostra ipotesi induttiva, abbiamo:
$n*b + 1 \leq n + b$
$=>$ $n*b + b + 1 \leq n + b + 1$ (aggiungendo b da entrambe le parti)
$=>$ $(n+1)*b + 1 \leq n + 1 + b$
Quindi, per il principio di induzione matematica, la disuguaglianza $ab + 1 \leq a + b$ è vera per tutti i valori di $a >= 1$ e $b <= 1$.
Cosa ne pensate? grazie
Risposte
Quello che stai cercando di provare è chiaramente falso: \(3\cdot 3+1 \not\le 3+3\). Semmai, la disuguaglianza va rovesciata, e allora \((n+1)b+1\ge (n+1)+b\) è vera se e solo se \(nb\ge n\), che è vera se e solo se \(b\ge 1\).
Induzione dove?
Ciao milos144,
Penso che la tua non sia una dimostrazione per induzione e che sia vero ciò che ti ha scritto megas_archon, cioè che in realtà vuoi dimostrare che se $a \ge 1 $ e $b \ge 1 $ allora $ ab+1 \ge a+b $, il che è vero.
Per la dimostrazione potresti dare un'occhiata ad esempio qui:
https://math.stackexchange.com/questions/2087489/how-to-prove-that-if-a-b-1-then-1ab-ab
"milos144":
Cosa ne pensate?
Penso che la tua non sia una dimostrazione per induzione e che sia vero ciò che ti ha scritto megas_archon, cioè che in realtà vuoi dimostrare che se $a \ge 1 $ e $b \ge 1 $ allora $ ab+1 \ge a+b $, il che è vero.
Per la dimostrazione potresti dare un'occhiata ad esempio qui:
https://math.stackexchange.com/questions/2087489/how-to-prove-that-if-a-b-1-then-1ab-ab
Io dovevo dimostrare che se $a>=1$ e $b<=1$ allora $ab+1<=a+b$
Se $a \geq 1$ e $b \leq 1$, allora possiamo riscrivere l'ineguaglianza $ab + 1 \leq a + b$ come $ab - a \leq b - 1$.
Poiché $a \geq 1$, l'espressione $ab - a = a(b - 1)$ sarà sempre minore o uguale a zero se $b \leq 1$. Quindi, $a(b - 1) \leq b - 1$.
Pertanto, l'ineguaglianza originale $ab + 1 \leq a + b$ è sempre vera quando $a \geq 1$ e $b \leq 1$.
Se $a \geq 1$ e $b \leq 1$, allora possiamo riscrivere l'ineguaglianza $ab + 1 \leq a + b$ come $ab - a \leq b - 1$.
Poiché $a \geq 1$, l'espressione $ab - a = a(b - 1)$ sarà sempre minore o uguale a zero se $b \leq 1$. Quindi, $a(b - 1) \leq b - 1$.
Pertanto, l'ineguaglianza originale $ab + 1 \leq a + b$ è sempre vera quando $a \geq 1$ e $b \leq 1$.
"milos144":
Io dovevo dimostrare che se $a>=1$ e $b<=1$ allora $ab+1<=a+b$
Se $a \geq 1$ e $b \leq 1$, allora possiamo riscrivere l'ineguaglianza $ab + 1 \leq a + b$ come $ab - a \leq b - 1$.
Mentre se non lo sono.. lo... puoi fare comunque?
"milos144":
Poiché $a \geq 1$, l'espressione $ab - a = a(b - 1
)$ sarà sempre minore o uguale a zero se $b \leq 1$. Quindi, $a(b - 1) \leq b - 1$.
Pertanto, l'ineguaglianza originale $ab + 1 \leq a + b$ è sempre vera quando $a \geq 1$ e $b \leq 1$.
Non dovevi farlo per induzione? E induzione .. dove?
"milos144":
Io dovevo dimostrare che se $a\ge 1$ e $b \le 1 $ allora $ab+1 \le a+b$
Eh, ma se non ce lo dici (in particolare il campo di variabilità di $a$ e $b$) noi come facciamo a saperlo?
Comunque la dimostrazione non cambia significativamente:
$ab+1 \le a+b$
$ab + 1 - a - b \le 0 $
$a(b - 1) - (b - 1) \le 0 $
$(a - 1)(b - 1) \le 0 $
A questo punto è chiaro che se il prodotto dei due fattori deve essere negativo o nullo, i casi possibili sono solo due:
1) $a \ge 1 $ e $b \le 1 $
2) $a \le 1 $ e $b \ge 1 $
A te interessa il caso 1).
Invece si ha $(a - 1)(b - 1) \ge 0 $ negli altri due casi:
3) $a \ge 1 $ e $b \ge 1 $
4) $a \le 1 $ e $b \le 1 $
Grazie mille!
Ora con il caso $a>=1$, b<=1$ perché dite che la dimostrazione precedente per induzione è errata: forse perché a e b sono numeri reali?
Ora con il caso $a>=1$, b<=1$ perché dite che la dimostrazione precedente per induzione è errata: forse perché a e b sono numeri reali?
"milos144":
Grazie mille!
Ora con il caso $a>=1, b<=1$ perché dite che la dimostrazione precedente per induzione è errata: forse perché a e b sono numeri reali?
Cioè tu hai cercato di fare una dimostrazione per induzione sui numeri reali? E quale sarebbe, esattamente, il numero reale subito dopo lo zero?
Premesso l'assurdità.....che ho detto 
, ma perché dite che la dimostrazione per induzione è sbagliata? Si suppone che $a>=1$ e $b<=1 $ grazie
, ma perché dite che la dimostrazione per induzione è sbagliata? Si suppone che $a>=1$ e $b<=1 $ grazie
"milos144":
Premesso l'assurdità.....che ho detto
Induzione... sui reali?
Alzo un sopracciglio. Come ti è già stato chiesto, quale sarebbe il reale dopo $0$? O $\pi$?
Nel sistema dei numeri reali, non esiste un “numero successivo” per un dato numero. Questo perché tra qualsiasi due numeri reali, c’è sempre un altro numero reale. Ad esempio, tra 0 e 1, c’è 0.5, tra 0 e 0.5 c’è 0.25, e così via. Quindi, non c’è un numero reale “dopo” 0 o π nel senso in cui potresti pensare.
La dimostrazione per induzione è un metodo di dimostrazione che si applica tipicamente ai numeri interi.
Questo principio non si applica direttamente ai numeri reali a causa della loro densità, come hai correttamente notato nella tua domanda precedente. Tra qualsiasi due numeri reali, esiste sempre un altro numero reale, il che rende impossibile “saltare” da un numero reale a un “prossimo” numero reale nel modo in cui si può con i numeri interi.
Nel mio libro c'era scritto di fare la dimostrazione per induzione.
La dimostrazione per induzione è un metodo di dimostrazione che si applica tipicamente ai numeri interi.
Questo principio non si applica direttamente ai numeri reali a causa della loro densità, come hai correttamente notato nella tua domanda precedente. Tra qualsiasi due numeri reali, esiste sempre un altro numero reale, il che rende impossibile “saltare” da un numero reale a un “prossimo” numero reale nel modo in cui si può con i numeri interi.
Nel mio libro c'era scritto di fare la dimostrazione per induzione.
"milos144":
Nel mio libro c'era scritto di fare la dimostrazione per induzione.
Attenzione perché se sul libro c'è scritto così allora forse, dico forse, sottintende che $a$ e $b$ siano numeri naturali maggiori od uguali a $1$: in tal caso l'unica possibilità è il caso 3) di quelli che ho scritto nel mio post precedente. Oppure $a \in \NN $ e $b \in \RR $, in tal caso le uniche possibilità sono i casi 1) e 3) di quelli che ho scritto nel mio post precedente. Se invece $a$ e $b$ sono reali consiglierei di buttare il libro...
https://www.youtube.com/watch?v=GsQR49oGJho
Penso che si riferisca al caso $1$ in tal caso avremo $a in NN >=1$ e $bin RR <=1$ quindi la dimostrazione per induzione che ho postato va bene o no?
Grazie
Grazie
Esattamente cosa dice la domanda? Ogni parola, ogni simbolo.
Dimostra per induzione che se $a>=1$ e $b<=1$ allora $ ab+1≤a+b$
E non dice i valori possibili di $a$ e $b$?
Mah.
Mah.
Andrebbe riportato anche il contesto, molto spesso si riporta solo il testo dell'esercizio che però fa parte di un capitolo, di una sezione dalla quale si evince chiaramente cosa si vuole ottenere dall'esercizio.
A parte tutto se considero $a$ e $ b$ interi
con $a>=1$ e $ b <=1$ o anche se $a>=1$ e $b >=1$
o anche $a>=1$ intero e $b <=1$ reale la dimostrazione per induzione si può fare.
con $a>=1$ e $ b <=1$ o anche se $a>=1$ e $b >=1$
o anche $a>=1$ intero e $b <=1$ reale la dimostrazione per induzione si può fare.
Sì ma non è "a parte tutto"
La precisione è tutto
Non è un dettaglio che $a$ e $b$ siano interi oppure no
La precisione è tutto
Non è un dettaglio che $a$ e $b$ siano interi oppure no
"milos144":
A parte tutto se considero $a$ e $ b$ interi
con $a>=1$ e $ b <=1$ o anche se $a>=1$ e $b >=1$
o anche $a>=1$ intero e $b <=1$ reale la dimostrazione per induzione si può fare.
A parte l'unica cosa importante che le distingue, la merda e il cioccolato sono esattamente la stessa cosa.
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