Dimostrazione per induzione

[milos144]

Salve, sto provando a dimostrare per induzione che $ab+1<=a+b$:


Passo base $(a = 1)$:
Per$ a = 1$, la disuguaglianza diventa $1*b + 1 \leq 1 + b$, che si semplifica in $b + 1 \leq 1 + b$. Questo è chiaramente vero per tutti i valori di $b <= 1$.

Passo di induzione:
supponiamo che la disuguaglianza sia vera per un certo valore $n$, cioè $n*b + 1 \leq n + b$. Dobbiamo dimostrare che la disuguaglianza è vera anche per $n + 1$, cioè $(n+1)*b + 1 \leq n + 1 + b$.

Partendo dalla nostra ipotesi induttiva, abbiamo:

$n*b + 1 \leq n + b$
$=>$ $n*b + b + 1 \leq n + b + 1$ (aggiungendo b da entrambe le parti)
$=>$ $(n+1)*b + 1 \leq n + 1 + b$

Quindi, per il principio di induzione matematica, la disuguaglianza $ab + 1 \leq a + b$ è vera per tutti i valori di $a >= 1$ e $b <= 1$.

Cosa ne pensate? grazie

[pilloeffe]

Supponendo di essere nel caso 1), quindi $a \ge 1 $ naturale e $b \le 1 $ reale, la tua dimostrazione non è corretta quando

"milos144":Partendo dalla nostra ipotesi induttiva, abbiamo:

$n \cdot b+1 \le n+b $
$ \implies n \cdot b+b+1 \le n+b+1 $ (aggiungendo $b$ da entrambe le parti)

In realtà hai aggiunto $b$ al primo membro e $1$ al secondo...

Farei così:

Hp) $nb+1\le n+b $
Th) $(n + 1)b + 1 \le n + 1 + b $

$(n+1)b + 1 = nb + b + 1 = nb + 1 + b \stackrel[\text{Hp}]{\le} n + b + b \le n + b + 1$

ove l'ultima disuguaglianza è giustificata dal fatto che $b \le 1 $

[milos144]

Grazie per l'aiuto! provo a riscrivere la dimostrazione per induzione supponendo $a in NN,a>=1$ e $ b <=1, b in RR$

**Passo base (n=1):**
L'ineguaglianza diventa $$1 \cdot b + 1 \leq 1 + b$$ che è ovviamente vera

**Ipotesi induttiva:**
Supponiamo che l'ineguaglianza sia vera per un certo $$n \geq 1$$, cioè $$n \cdot b + 1 \leq n + b$$.

**Passo induttivo (n+1):**
Dobbiamo dimostrare che l'ineguaglianza è vera anche per $$n+1$$, cioè $$(n+1) \cdot b + 1 \leq (n+1) + b$$.

Ora, per ipotesi induttiva, abbiamo $$n \cdot b + 1 \leq n + b$$. Aggiungendo $$b$$ ad entrambi i membri dell'ineguaglianza otteniamo $$n \cdot b + 1 + b \leq n + b + b$$.

Essendo $$b \leq 1$$, si ha $$n \cdot b + 1 + b \leq n + b + b \leq n + b + 1=n+1+b$$, che è esattamente quello che volevamo dimostrare.

Similmente si potrebbe dimostrare per induzione supponendo $a in NN,a>=1$ e $ b >=1, b in AA$

[pilloeffe]

"milos144":Grazie per l'aiuto!

Prego!

"milos144":Similmente si potrebbe dimostrare per induzione supponendo $a \in \NN$, $a \ge 1 $ e $b \ge 1 $, $b \in \AA $

Sì, immagino intendessi $b \ge 1 $, $b \in \RR $. Esiste un modo abbastanza comodo oltre che più breve di scrivere questa cosa, fra l'altro prescritto anche dalla norma ISO 80000-2: $a \in \NN_{\ge 1} $ e $b \in \RR_{\ge 1} $

Comunque a meno che tu non sia obbligato, sconsiglierei la dimostrazione per induzione e farei riferimento al mio secondo post di risposta qui.