Dimostrazione matematica Teorema delle Forze Vive
Ciao a tutti, premetto subito che non ho scritto questo post in Fisica perchè a parer mio il problema è di tipo matematico (anche se riguarda fisica),tuttavia lascio la scelta della sezione a discrezione dei moderatori.
Sto provando, per ora senza successo, a dimostrare il teorema delle forze vive senza usare gli infinitesimi e i giochini che si fanno con loro (semplificare i $dt$,moltiplicare... etc..); mi potete dire dove sbaglio per favore?
Allora devo dimostrare (come sappiate tutti immagino) l'uguaglianza: $L_(A->B)=K_B-K_A$.
Sia $dL$ la forma differenziale lineare (lavoro elementare) a cui è associato il campo di Forze
$F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$.
Per la teoria sulle forme differenziali lineari posso scrivere: $dL = sum_(i=1)^3F_idx_i$.
Sappiamo che $L_(A->B)=int_gamma dL$ dove $gamma$ è una qualsiasi curva di punto iniziale $\vec A$ e punto finale $\vec B$.
Ricordiamo che l'energia cinetica è la funzione scalare $K:RR->RR,t->1/2 m ||\vec v(t)||^2$.
Si ha dunque che: $K_B-K_A=1/2 m ||\vec v_B||^2-1/2 m ||\vec v_B||^2=1/2 m ||\vec v_B-\vec v_a||^2$.
Devo dunque dimostrare che : $int_gamma dL = 1/2 m ||\vec v_B-\vec v_a||^2$
Sia $phi:[alpha,beta]->gamma,t->phi(t)$ una parametrizzazione orientata positiva di $gamma$, cioè $phi(alpha)=\vec A$ e $phi(beta)=\vec B$, allora:
$L_(A->B)=int_gamma dL=int _gamma sum_(i=1)^3F_idx_i=int _alpha^beta sum_(i=1)^3F_i(phi(t))phi'_1(t)dt=int_alpha^beta <\vec F(phi(t)),\vec phi'(t)>dt$.
Poichè $F(phi(t))=m(a_1(phi(t)),a_2(phi(t)),a_2(phi(t)))$, sostituendo:
$L_(A->B)=m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\vec phi'(t)>dt$.
Moltiplicando e dividendo per $||phi'(t)||$ ottengo:
$L_(A->B)=m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\vec phi'(t)>dt=m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\vec (phi'(t))/||\vec phi'(t)||>||\vec phi'(t)||dt= $
$= m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\hat U_t>||\vec phi'(t)||=m int_alpha^beta ||\vec a_t(phi(t))||*||\vec phi'(t)||dt$.
Dove $\hat U_t$ è il versore tangente alla curva e $\vec a_t(phi(t))$ è il componente tangente dell'accelerazione.
A questo punto dovrei dimostrare l'uguaglianza:
$m int_alpha^beta ||\vec a_t(phi(t))||*||\vec phi'(t)||dt = m(||\vec v(phi(t))||^2/2 )|_alpha^beta$
Ovvero che il prodotto della lunghezza del componente tangente dell'accelerazione con la norma della derivata della traiettoria sia uguale alla lunghezza del vettore velocità...
Aiuto please
Sto provando, per ora senza successo, a dimostrare il teorema delle forze vive senza usare gli infinitesimi e i giochini che si fanno con loro (semplificare i $dt$,moltiplicare... etc..); mi potete dire dove sbaglio per favore?
Allora devo dimostrare (come sappiate tutti immagino) l'uguaglianza: $L_(A->B)=K_B-K_A$.
Sia $dL$ la forma differenziale lineare (lavoro elementare) a cui è associato il campo di Forze
$F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z))$.
Per la teoria sulle forme differenziali lineari posso scrivere: $dL = sum_(i=1)^3F_idx_i$.
Sappiamo che $L_(A->B)=int_gamma dL$ dove $gamma$ è una qualsiasi curva di punto iniziale $\vec A$ e punto finale $\vec B$.
Ricordiamo che l'energia cinetica è la funzione scalare $K:RR->RR,t->1/2 m ||\vec v(t)||^2$.
Si ha dunque che: $K_B-K_A=1/2 m ||\vec v_B||^2-1/2 m ||\vec v_B||^2=1/2 m ||\vec v_B-\vec v_a||^2$.
Devo dunque dimostrare che : $int_gamma dL = 1/2 m ||\vec v_B-\vec v_a||^2$
Sia $phi:[alpha,beta]->gamma,t->phi(t)$ una parametrizzazione orientata positiva di $gamma$, cioè $phi(alpha)=\vec A$ e $phi(beta)=\vec B$, allora:
$L_(A->B)=int_gamma dL=int _gamma sum_(i=1)^3F_idx_i=int _alpha^beta sum_(i=1)^3F_i(phi(t))phi'_1(t)dt=int_alpha^beta <\vec F(phi(t)),\vec phi'(t)>dt$.
Poichè $F(phi(t))=m(a_1(phi(t)),a_2(phi(t)),a_2(phi(t)))$, sostituendo:
$L_(A->B)=m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\vec phi'(t)>dt$.
Moltiplicando e dividendo per $||phi'(t)||$ ottengo:
$L_(A->B)=m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\vec phi'(t)>dt=m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\vec (phi'(t))/||\vec phi'(t)||>||\vec phi'(t)||dt= $
$= m int_alpha^beta <\vec a(phi(t)),\hat U_t>||\vec phi'(t)||=m int_alpha^beta ||\vec a_t(phi(t))||*||\vec phi'(t)||dt$.
Dove $\hat U_t$ è il versore tangente alla curva e $\vec a_t(phi(t))$ è il componente tangente dell'accelerazione.
A questo punto dovrei dimostrare l'uguaglianza:
$m int_alpha^beta ||\vec a_t(phi(t))||*||\vec phi'(t)||dt = m(||\vec v(phi(t))||^2/2 )|_alpha^beta$
Ovvero che il prodotto della lunghezza del componente tangente dell'accelerazione con la norma della derivata della traiettoria sia uguale alla lunghezza del vettore velocità...
Aiuto please
Risposte
Con gli infinitesimi farei a questo punto:
$m int_alpha^beta ||\vec a_t(phi(t))||*||\vec phi'(t)||dt = m int_A^B ||\vec a_t||ds=m int_A^B (d^2s)/dt^2 ds=$
$m int_A^B (dv)/dt ds= m int_A^B dv (ds)/dt=m int_A^B v*dv=m (v^2/2)|_A^B$
e in effetti il teorma resta dimostrato, ma tuttavia preferirei non utilizzare tutto ciò...
$m int_alpha^beta ||\vec a_t(phi(t))||*||\vec phi'(t)||dt = m int_A^B ||\vec a_t||ds=m int_A^B (d^2s)/dt^2 ds=$
$m int_A^B (dv)/dt ds= m int_A^B dv (ds)/dt=m int_A^B v*dv=m (v^2/2)|_A^B$
e in effetti il teorma resta dimostrato, ma tuttavia preferirei non utilizzare tutto ciò...
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