Dimostrazione Integrazione per sostituzione
Potreste aiutarmi con la dimostrazione dell'integrazione per sostituzione? Io ho il libro Prodi e si trova a pagina 321-322 anche se non credo voi lo abbiate. Grazie in anticipo
Risposte
Perché non posti i passaggi che ti danno del filo da torcere?
Paola
Paola
Sia f una funzione continua definita in un intervallo [a,b] e sia \varphi una funzione definita in un intervallo \(\displaystyle [\alpha, \beta] \), continua e derivabile con continuità, a valori in [a,b].
Posto \(\displaystyle F(x)=\lmoustache [a,x] f(\xi)d\xi \), consideriamo la funzione composta F o \(\displaystyle \varphi \). Si ha: \(\displaystyle d/dt (F o \varphi)(t)= F'(\varphi(t))\varphi'(t) \).
Poiche f o \(\displaystyle \varphi \) e \(\displaystyle \varphi' \) sono continue otteniamo (F o \(\displaystyle \varphi \))(t)=\(\displaystyle \lmoustache [\alpha,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k (\alpha<=t<=\beta)
\)
relazione che si può anche scrivere
\(\displaystyle \lmoustache [\alpha,\varphi(t)] f(\xi)d\xi=\lmoustache [\alpha,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k \)
Dando a t un particolare valore t0 e sottraendo membro a membro si ricava
\(\displaystyle \lmoustache [\varphi(t0),\varphi(t)] f(\xi)d\xi=\lmoustache [t0,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k
\)
Se\(\displaystyle \varphi(\gamma)=c, \varphi(\delta)=d, \) si ha
\(\displaystyle \lmoustache [c,d] f(\xi)d\xi=\lmoustache [\gamma,\delta] f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)
se \(\displaystyle \varphi \) non è invertibile può accadere che vi sia più di una coppia di punti \(\displaystyle (\gamma,\delta) \)utilizzabile. Se in \(\displaystyle [\alpha,\beta] \) si ha \(\displaystyle \varphi'(t) \) diverso da 0 allora \(\displaystyle \varphi(t) \) ammette inversa e si ha
\(\displaystyle \lmoustache [c,d] f(x )dx = \lmoustache [\varphi ^-1 (c), \varphi^-1 (d)] f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)
Posto \(\displaystyle F(x)=\lmoustache [a,x] f(\xi)d\xi \), consideriamo la funzione composta F o \(\displaystyle \varphi \). Si ha: \(\displaystyle d/dt (F o \varphi)(t)= F'(\varphi(t))\varphi'(t) \).
Poiche f o \(\displaystyle \varphi \) e \(\displaystyle \varphi' \) sono continue otteniamo (F o \(\displaystyle \varphi \))(t)=\(\displaystyle \lmoustache [\alpha,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k (\alpha<=t<=\beta)
\)
relazione che si può anche scrivere
\(\displaystyle \lmoustache [\alpha,\varphi(t)] f(\xi)d\xi=\lmoustache [\alpha,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k \)
Dando a t un particolare valore t0 e sottraendo membro a membro si ricava
\(\displaystyle \lmoustache [\varphi(t0),\varphi(t)] f(\xi)d\xi=\lmoustache [t0,t] f(\varphi(\eta))\varphi'(\eta)d\eta+k
\)
Se\(\displaystyle \varphi(\gamma)=c, \varphi(\delta)=d, \) si ha
\(\displaystyle \lmoustache [c,d] f(\xi)d\xi=\lmoustache [\gamma,\delta] f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)
se \(\displaystyle \varphi \) non è invertibile può accadere che vi sia più di una coppia di punti \(\displaystyle (\gamma,\delta) \)utilizzabile. Se in \(\displaystyle [\alpha,\beta] \) si ha \(\displaystyle \varphi'(t) \) diverso da 0 allora \(\displaystyle \varphi(t) \) ammette inversa e si ha
\(\displaystyle \lmoustache [c,d] f(x )dx = \lmoustache [\varphi ^-1 (c), \varphi^-1 (d)] f(\varphi(t))\varphi'(t)dt \)
Questa è la spiegazione..sinceramente ho appena iniziato gli integrali quindi mi da del filo da torcere un po' tutto. Se potete spiegarmelo in modo un po' approfondito mi fareste un gran favore. Un saluto e ringraziamento 
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