Dimostrazione funzione inversa

[gcappellotto]

Salve a tutti
Ho da dimostrare quanto segue:
..una funzione crescente e continua in un intervallo ha inversa che è crescente e continua.

Questa è la mia dimostrazione che però non mi convince...
Considero un intervallo A B con B maggiore di A e f(B) > f(A) in tale intervallo la funzione è crescente quindi la derivata è positiva.
Ora la derivata della funzione phi(y), inversa di f(x) è la reciproca della derivata di f(x) calcolata nel punto x= phi(y)
Ma il reciproco di una derivata positiva è positivo, quindi la funzione inversa è crescente in A B
Saluti
Giovanni C.

[Luca.Lussardi]

Non stai supponendo che $f$ sia derivabile.