Dimostrazione funzione di discontinuità di prima specie
Buongiorno raga, mi aiutate a trovare gli errori commessi in questa dimostrazione?
Grazie in anticipo
Sia D={c_1,c_2,...,c_n} l'insieme finito delle discontinuità di prima specie di f in [a,b]. Poiché f è limitata, esiste un numero positivo M>0 tale che ∣f(x)∣≤M per ogni x∈[a,b].
Fissato un ϵ>0, scegliamo un valore δ>0 tale che:
$$4nM\delta < \frac{\epsilon}{2}$$
Definiamo l'insieme C come la parte di [a,b] che rimane dopo aver rimosso gli intervalli aperti intorno alle discontinuità:
$$G = [a,b] \setminus \bigcup_{i=1}^{n} O_i = [a,b] \setminus \bigcup_{i=1}^{n} (c_i - \delta, c_i + \delta)$$
Poiché f è continua su ogni intervallo chiuso. Per la condizione di integrabilità di Riemann, per ogni j=1,...,r, esiste una partizione Aj dell'intervallo [aj,bj] tale che:
$$S(A_j, f) - s(A_j, f) < \frac{\epsilon}{2r}$$
Considero la differenza tra la somma superiore e inferiore per la partizione A:
$$S(A,f) - s(A,f) = \sum_{k=1}^{m} (M_k - m_k) \Delta x_k$$
Possiamo suddividere i sottointervalli [x_{k-1},x_k] della partizione A in due categorie:
Sottointervalli I e J:
per i sottointervalli I abbiamo:
$$\sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq [a_j, b_j]}} (M_I - m_I) |I| \leq S(A|_{[a_j, b_j]}, f) - s(A|_{[a_j, b_j]}, f) \leq S(A_j, f) - s(A_j, f) < \frac{\epsilon}{2r}$$
sommando su tutti gli intervalli abbiamo:
$$\sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq G}} (M_I - m_I) |I| = \sum_{j=1}^{r} \sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq [a_j, b_j]}} (M_I - m_I) |I| < \sum_{j=1}^{r} \frac{\epsilon}{2r} = \frac{\epsilon}{2}$$
per i sottointervalli J abbiamo:
$$\sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (M_J - m_J) |J| \leq \sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (2M) |J| = 2M \sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} |J| \leq 2M (2n\delta) = 4nM\delta$$
quindi
$$\sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (M_J - m_J) |J| < \frac{\epsilon}{2}$$
Sommando i contributi delle due categorie di sottointervalli:
$$S(A,f) - s(A,f) = \sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq G}} (M_I - m_I) |I| + \sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (M_J - m_J) |J| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Grazie in anticipo
Sia D={c_1,c_2,...,c_n} l'insieme finito delle discontinuità di prima specie di f in [a,b]. Poiché f è limitata, esiste un numero positivo M>0 tale che ∣f(x)∣≤M per ogni x∈[a,b].
Fissato un ϵ>0, scegliamo un valore δ>0 tale che:
$$4nM\delta < \frac{\epsilon}{2}$$
Definiamo l'insieme C come la parte di [a,b] che rimane dopo aver rimosso gli intervalli aperti intorno alle discontinuità:
$$G = [a,b] \setminus \bigcup_{i=1}^{n} O_i = [a,b] \setminus \bigcup_{i=1}^{n} (c_i - \delta, c_i + \delta)$$
Poiché f è continua su ogni intervallo chiuso. Per la condizione di integrabilità di Riemann, per ogni j=1,...,r, esiste una partizione Aj dell'intervallo [aj,bj] tale che:
$$S(A_j, f) - s(A_j, f) < \frac{\epsilon}{2r}$$
Considero la differenza tra la somma superiore e inferiore per la partizione A:
$$S(A,f) - s(A,f) = \sum_{k=1}^{m} (M_k - m_k) \Delta x_k$$
Possiamo suddividere i sottointervalli [x_{k-1},x_k] della partizione A in due categorie:
Sottointervalli I e J:
per i sottointervalli I abbiamo:
$$\sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq [a_j, b_j]}} (M_I - m_I) |I| \leq S(A|_{[a_j, b_j]}, f) - s(A|_{[a_j, b_j]}, f) \leq S(A_j, f) - s(A_j, f) < \frac{\epsilon}{2r}$$
sommando su tutti gli intervalli abbiamo:
$$\sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq G}} (M_I - m_I) |I| = \sum_{j=1}^{r} \sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq [a_j, b_j]}} (M_I - m_I) |I| < \sum_{j=1}^{r} \frac{\epsilon}{2r} = \frac{\epsilon}{2}$$
per i sottointervalli J abbiamo:
$$\sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (M_J - m_J) |J| \leq \sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (2M) |J| = 2M \sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} |J| \leq 2M (2n\delta) = 4nM\delta$$
quindi
$$\sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (M_J - m_J) |J| < \frac{\epsilon}{2}$$
Sommando i contributi delle due categorie di sottointervalli:
$$S(A,f) - s(A,f) = \sum_{\substack{I \in A \\ I \subseteq G}} (M_I - m_I) |I| + \sum_{\substack{J \in A \\ J \subseteq \bigcup_{i=1}^{n} O_i}} (M_J - m_J) |J| < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
Risposte
Si' ma cosa vuoi dimostrare?
Sia [a,b] un intervallo chiuso e limitato. Se f : [a,b] \rightarrow \mathbb{R} è una funzione
limitata e con un numero finito di discontinuità di prima specie, allora è
integrabile in [a,b].
Cioè, se la funzione ha dei "buchi" o "salti" nel suo grafico, purché questi non siano "troppi" e di un certo tipo (discontinuità di prima specie), si può comunque trovare l'area sotto la curva
limitata e con un numero finito di discontinuità di prima specie, allora è
integrabile in [a,b].
Cioè, se la funzione ha dei "buchi" o "salti" nel suo grafico, purché questi non siano "troppi" e di un certo tipo (discontinuità di prima specie), si può comunque trovare l'area sotto la curva
Mi sembra ci sia un sacco di confusione. Dici "definiamo \(C\) l'insieme bla bla" e poi lo chiami \(G\). L'indice \(r\) non si capisce da dove salta fuori. Poi c'e' un indice \(m\). Chi sono gli \(a_j, \, b_j\)?
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