Dimostrazione formula rendita...non mi torna un passaggio
Ho un problema nel dimostrare la formula di una rendita posticipata immediata.
In una rendita immediata la prima rata si riferisce al primo periodo ovvero al periodo intercorrente tra (t0,t1); se la rendita è posticipata, ogni rata R viene pagata o riscossa alla ne del periodo di riferimento. Sapendo che il montante di una
rendita è la somma dei montanti delle singole rate si ha:
$M = R + R(1 + i) + R(1 + i)^2 + ::: + R(1 + i)^(n-1)$
ovvero
$M = R [1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + ::: + (1 + i)^(n-1)]$ (3)
Moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per (1+i) si ottiene:
$M(1 + i) = R[(1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + ::: + (1 + i)^(n-1)]$ (4)
Fino a qui nessun problema.. Non capisco questo passaggio
Facendo la differenza membro a membro tra la (4) e la (3) si ottiene
$M(1 + i) -M = R[(1 + i)^n + (1 + i)^(n-1) - (1 + i)^(n-1)+; :::; (1 + i) - (1 + i) - 1]$
Non riesco proprio a capire da dove escono gli n-1, n... sono disperato
da cui si ricava $iM = R[(1 + i)^n -1]$e quindi
$M = R*[(1 + i)^n-1]/(i)$
In una rendita immediata la prima rata si riferisce al primo periodo ovvero al periodo intercorrente tra (t0,t1); se la rendita è posticipata, ogni rata R viene pagata o riscossa alla ne del periodo di riferimento. Sapendo che il montante di una
rendita è la somma dei montanti delle singole rate si ha:
$M = R + R(1 + i) + R(1 + i)^2 + ::: + R(1 + i)^(n-1)$
ovvero
$M = R [1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + ::: + (1 + i)^(n-1)]$ (3)
Moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per (1+i) si ottiene:
$M(1 + i) = R[(1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + ::: + (1 + i)^(n-1)]$ (4)
Fino a qui nessun problema.. Non capisco questo passaggio
Facendo la differenza membro a membro tra la (4) e la (3) si ottiene
$M(1 + i) -M = R[(1 + i)^n + (1 + i)^(n-1) - (1 + i)^(n-1)+; :::; (1 + i) - (1 + i) - 1]$
Non riesco proprio a capire da dove escono gli n-1, n... sono disperato
da cui si ricava $iM = R[(1 + i)^n -1]$e quindi
$M = R*[(1 + i)^n-1]/(i)$
Risposte
La (4) é sbagliata, nel senso che l'ultimo termine dovrebbe avere esponente $n$.
Se continua a non tornarti, spiegami meglio che non ho capito cosa non ti torna
Se continua a non tornarti, spiegami meglio che non ho capito cosa non ti torna
In ogni caso mi sembra che si stia semplicemente ridimostrando la formula per la somma di una progressione geometrica:
https://it.wikipedia.org/wiki/Progressi ... geometrica
https://it.wikipedia.org/wiki/Progressi ... geometrica
"Ernesto01":
La (4) é sbagliata, nel senso che l'ultimo termine dovrebbe avere esponente $n$.
Se continua a non tornarti, spiegami meglio che non ho capito cosa non ti torna
Non mi torna quando fa la differenza tra la (4) e la (3)... Perchè gli viene agli esponenti n, n-1...cioè non capisco come fanno a venirgli quegli esponenti....che calcoli/proprietà ha utilizzato??
Hai ragione, la (4) ha esponente $n$.
"dissonance":
In ogni caso mi sembra che si stia semplicemente ridimostrando la formula per la somma di una progressione geometrica:
https://it.wikipedia.org/wiki/Progressi ... geometrica
Grazie per la risposta ma non le ho mai viste le progressioni geometriche.
"albertocorra":
[quote="dissonance"]In ogni caso mi sembra che si stia semplicemente ridimostrando la formula per la somma di una progressione geometrica:
https://it.wikipedia.org/wiki/Progressi ... geometrica
Grazie per la risposta ma non le ho mai viste le progressioni geometriche.[/quote]
Si fa sempre in tempo a cliccare sul link di wikipedia. Prova a dare un'occhiata, ci sono esattamente i calcoli che ti servono.
Ciao albertocorra,
Non c'è alcuna proprietà, ha fatto semplicemente la differenza fra le due formule (4) e (3) che riscrivo qui di seguito corrette dividendole per $R$ per pura comodità (meno parentesi):
$ frac{M(1 + i)}{R} = (1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + ... + (1 + i)^{n - 1} + (1 + i)^n $
$ frac{M}{R} = 1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + ... + (1 + i)^{n - 1} $
Se ora si sottrae la seconda dalla prima, si può osservare che si cancellano fra loro tutti i termini intermedi e "sopravvivono" solo $(1 + i)^n $ e $1$, per cui si ha:
$frac{M(1 + i)}{R} - frac{M}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$frac{M(1 + i) - M}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$frac{M + iM - M}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$frac{iM}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$M = R \cdot frac{(1 + i)^n - 1}{i} $
"albertocorra":
Perchè gli viene agli esponenti n, n-1...cioè non capisco come fanno a venirgli quegli esponenti....che calcoli/proprietà ha utilizzato??
Non c'è alcuna proprietà, ha fatto semplicemente la differenza fra le due formule (4) e (3) che riscrivo qui di seguito corrette dividendole per $R$ per pura comodità (meno parentesi):
$ frac{M(1 + i)}{R} = (1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + ... + (1 + i)^{n - 1} + (1 + i)^n $
$ frac{M}{R} = 1 + (1 + i) + (1 + i)^2 + (1 + i)^3 + ... + (1 + i)^{n - 1} $
Se ora si sottrae la seconda dalla prima, si può osservare che si cancellano fra loro tutti i termini intermedi e "sopravvivono" solo $(1 + i)^n $ e $1$, per cui si ha:
$frac{M(1 + i)}{R} - frac{M}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$frac{M(1 + i) - M}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$frac{M + iM - M}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$frac{iM}{R} = (1 + i)^n - 1 $
$M = R \cdot frac{(1 + i)^n - 1}{i} $
Grazie mille!! Ora è chiarissimo!
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