Dimostrazione formula di taylor con peano (fine)
ho provato a cercare su internet la dimostrazione della formula di taylor con resto di peano...
ma ho trovato solo una parte che tra l'altro era di ordine 2...
$\lim_{x \to \x_o}(f(x)-T_2(x))/((x-x_0)^2]=0$ (questo è quello che devo dimostrare...
$\lim_{x \to \x_o}[f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-(f''(x_0))/(2!)(x-x_0)^2]/(x-x_0)^2$
$\lim_{x \to \x_o}(f'(x)-f(x_0)-f''(x_0)(x-x_0))/(2(x-x_0))$
ora come si va avanti??
ma ho trovato solo una parte che tra l'altro era di ordine 2...
$\lim_{x \to \x_o}(f(x)-T_2(x))/((x-x_0)^2]=0$ (questo è quello che devo dimostrare...
$\lim_{x \to \x_o}[f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-(f''(x_0))/(2!)(x-x_0)^2]/(x-x_0)^2$
$\lim_{x \to \x_o}(f'(x)-f(x_0)-f''(x_0)(x-x_0))/(2(x-x_0))$
ora come si va avanti??
Risposte
nell'ultimo passaggio hai sbagliato, non c'è [tex]-f(x_0)[/tex] ma [tex]-f'(x_0)[/tex], allora riesci a proseguire ricordando la definizione di derivata seconda
ah ok XD
ma il teorema è possibile dimostrarlo anche senza scegliere un ordine per il polinomio?
ma il teorema è possibile dimostrarlo anche senza scegliere un ordine per il polinomio?
Puoi dimostrarlo in generale per l'ordine n-simo.
$\lim_{x \to \x_o}(f(x)-T_n(x))/((x-x_0)^n]=0$
$\lim_{x \to \x_o}[f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-(f''(x_0))/(2!)(x-x_0)^2-...-(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n]/(x-x_0)^n$
$\lim_{x \to \x_o}(f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n))(x_0))/(n!(n-1))(x-x_0)^(n-1))/(n(x-x_0)^(n-1))$
ora mi sfugge come fare la stessa cosa che ho fatto prima, cioè esprimere la derivata seconde tramite la derivata prima.
$\lim_{x \to \x_o}[f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)-(f''(x_0))/(2!)(x-x_0)^2-...-(f^((n))(x_0))/(n!)(x-x_0)^n]/(x-x_0)^n$
$\lim_{x \to \x_o}(f'(x)-f'(x_0)-f''(x_0)(x-x_0)-...-(f^((n))(x_0))/(n!(n-1))(x-x_0)^(n-1))/(n(x-x_0)^(n-1))$
ora mi sfugge come fare la stessa cosa che ho fatto prima, cioè esprimere la derivata seconde tramite la derivata prima.
Ma al primo post cosa hai fatto? Applicato De L'Hopital? Puoi continuare applicandolo n-1 volte.
Ovvio che devono valere certe ipotesi per farlo.
Ovvio che devono valere certe ipotesi per farlo.
ok, ma come faccio ad applicarlo n-1 volte???
Ma il problema qual è? Quello di derivare una cosa della forma [tex]$\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$[/tex] per $r$ volte? Rifletti un secondo: la derivata di [tex]$x^m$[/tex] è [tex]$mx^{m-1}$[/tex], la derivata seconda è [tex]$m(m-1) x^{m-2}$[/tex]... se procedi, la derivata $r$ volte è [tex]$m(m-1)(m-2)\cdots(m-r+1) x^{m-r}=\frac{m!}{(m-r)!} x^{m-r}$[/tex] (cosa non complicata da dimostrare).
sopra rimane
$f^(k)(x)-f^(k)(x_0)-([f^((k))(x_0)]/(k!))*k!(x-x_0) = f^(k)(x)-f^(k)(x_0)-f^((k))(x_0)*(x-x_0)$
giusto?
$f^(k)(x)-f^(k)(x_0)-([f^((k))(x_0)]/(k!))*k!(x-x_0) = f^(k)(x)-f^(k)(x_0)-f^((k))(x_0)*(x-x_0)$
giusto?
Sì, a occhio penso che si giusto. E se sotto viene [tex]$n!(x-x_0)$[/tex], qual è il risultato del limite? 
Hint: c'è un rapporto incrementale.
Hint: c'è un rapporto incrementale.
0 ma in realtà $f^k(x)-(f^k(x_0))/(x-x_0)$ dovrebbe essere la derivata k-esima in x_0
Ma no, tu stai controllando proprio che il limite iniziale ti venga [tex]$0$[/tex].
Comunque, scusami, mi sono accorto ora dell'errore che hai fatto.
Hai [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x)(x-x_0)}{n!(x-x_0)}=\lim_{x \to x_0} \frac{1}{n!}\bigg(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\bigg)$[/tex]. A questo punto sai concludere, considerando che la funzione è derivabile n volte in [tex]$x_0$[/tex]
Comunque, scusami, mi sono accorto ora dell'errore che hai fatto.
Hai [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x)(x-x_0)}{n!(x-x_0)}=\lim_{x \to x_0} \frac{1}{n!}\bigg(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\bigg)$[/tex]. A questo punto sai concludere, considerando che la funzione è derivabile n volte in [tex]$x_0$[/tex]
ecco perche non mi tornava XD
grazie a tutti
grazie a tutti
"Antimius":
Ma no, tu stai controllando proprio che il limite iniziale ti venga [tex]$0$[/tex].
Comunque, scusami, mi sono accorto ora dell'errore che hai fatto.
Hai [tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x)(x-x_0)}{n!(x-x_0)}=\lim_{x \to x_0} \frac{1}{n!}\bigg(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\bigg)$[/tex]. A questo punto sai concludere, considerando che la funzione è derivabile n volte in [tex]$x_0$[/tex]
Scusate se uppo un post un po' vecchio. Non capisco una cosa. Quando passi da:
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)-f^{(n)}(x)(x-x_0)}{n!(x-x_0)}$[/tex]
a
[tex]$\lim_{x \to x_0} \frac{1}{n!}\bigg(\frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(x_0)}{x-x_0}-f^{(n)}(x_0)\bigg)$[/tex]
l' [tex]$(x - x_0)$[/tex] che stava al numeratore (e moltiplicava [tex]$f^{(n)}(x)$[/tex] ) che fine fa?
EDIT. Ho capito da solo: se$ x ->$ ad $x_0$, $x - x_0 = 0$
"Bisneff":
EDIT. Ho capito da solo: se$ x ->$ ad $x_0$, $x - x_0 = 0$
Veramente si semplifica con $(x - x_0)$ a denominatore...
"Seneca":
[quote="Bisneff"]
EDIT. Ho capito da solo: se$ x ->$ ad $x_0$, $x - x_0 = 0$
Veramente si semplifica con $(x - x_0)$ a denominatore...[/quote]
LOL è vero XD
Non ci avevo pensato
Grazie
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