Dimostrazione disuguaglianze notevoli e^x>=1+x e logx<=x-1
Buongiorno a tutti,
tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di Analisi I ma sfortunatamente il professore non è lo stesso di quando ho seguito il corso e quindi ci sono due dimostrazioni che non sono riuscito a reperire né dagli appunti né sul libro e sono:
$ e^x>=1+x $ e $ logx<=x-1 $
Per il primo pensavo di procedere in questo modo:
$ e^x>=1+xrArr (e^x-1)/x>=1 $
e sfruttare il ben noto limite notevole che mi dice che questa disuguaglianza è vera per $ xrarr 0 $ e, per le gerarchie di infinito anche per x più grandi.
Per la seconda procedevo allo stesso modo:
$ logx<=x-1rArr (logx+1)/x<=0 $
ma a questo punto non so come arrivare al risultato sperato.
Il vero problema è che non so se queste disuguaglianze debbano essere dimostrate solo per $ x>0 $ .
C'è qualcuno che sa svolgere queste dimostrazioni?
Grazie in anticipo,
Eugenio.
tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di Analisi I ma sfortunatamente il professore non è lo stesso di quando ho seguito il corso e quindi ci sono due dimostrazioni che non sono riuscito a reperire né dagli appunti né sul libro e sono:
$ e^x>=1+x $ e $ logx<=x-1 $
Per il primo pensavo di procedere in questo modo:
$ e^x>=1+xrArr (e^x-1)/x>=1 $
e sfruttare il ben noto limite notevole che mi dice che questa disuguaglianza è vera per $ xrarr 0 $ e, per le gerarchie di infinito anche per x più grandi.
Per la seconda procedevo allo stesso modo:
$ logx<=x-1rArr (logx+1)/x<=0 $
ma a questo punto non so come arrivare al risultato sperato.
Il vero problema è che non so se queste disuguaglianze debbano essere dimostrate solo per $ x>0 $ .
C'è qualcuno che sa svolgere queste dimostrazioni?
Grazie in anticipo,
Eugenio.
Risposte
Attento è $\frac{\ln(x)+1}{x} \leq 1$ e va dimostrato solo per $x>0$ dato che è quello il dominio di $\ln(x)$.
Studia la funzione $f=\frac{\ln(x)+1}{x}$ in $(0,+\infty)$...
Studia la funzione $f=\frac{\ln(x)+1}{x}$ in $(0,+\infty)$...
Come diceva una famosa canzone di Al Bano e Romina Power... "Convessità è tenersi per mano e andare lontano, la convessità". 
Ambé è vero, che tonto che sono 
Grazie di avermi fatto notare l'errore.
Dallo studio di $ f=(lnx+1)/x $ ricavo che:
$ f'=-(lnx)/(x^2) $
per cui la funzione risulta crescente in $ (0,1) $ e decrescente in $ (1,+oo ) $ ; inoltre $ x=1 $ è punto di massimo assoluto da cui $ f(1)=1 $ è massimo assoluto.
Dalla derivata seconda:
$ f''=(-1+2lnx)/(x^3) $
ricavo che $ f $ risulta essere convessa nell'intervallo $ (sqrte,+oo ) $ e concava in $ (0,sqrte) $ .
Come posso adoperare la conoscenza degli intervalli di convessità?
In ogni caso la dimostrazione dell'altra disuguaglianza: $ e^x>=1+x $ , era corretta?
Dallo studio di $ f=(lnx+1)/x $ ricavo che:
$ f'=-(lnx)/(x^2) $
per cui la funzione risulta crescente in $ (0,1) $ e decrescente in $ (1,+oo ) $ ; inoltre $ x=1 $ è punto di massimo assoluto da cui $ f(1)=1 $ è massimo assoluto.
Dalla derivata seconda:
$ f''=(-1+2lnx)/(x^3) $
ricavo che $ f $ risulta essere convessa nell'intervallo $ (sqrte,+oo ) $ e concava in $ (0,sqrte) $ .
Come posso adoperare la conoscenza degli intervalli di convessità?
In ogni caso la dimostrazione dell'altra disuguaglianza: $ e^x>=1+x $ , era corretta?
"EugenioCalva":
Per il primo pensavo di procedere in questo modo:
$e^x≥1+x⇒(e^x−1)/x≥1 $
e sfruttare il ben noto limite notevole che mi dice che questa disuguaglianza è vera per x→0 e, per le gerarchie di infinito anche per x più grandi.
Non è detto la funzione può benissimo andare sotto la retta $y=x$ quando vuole a patto che $x$ non sia sufficientemente grande per questo è meglio che tu proceda come per la seconda disuguaglianza.
Per quanto riguarda gli intervalli di convessità non servono, l'idea era quella di trovarsi il massimo assoluto e fine. Gugo con la celebre canzone "convessità" intendeva dire che basta ricordare $e^x$ è convessa e $\ln(x)$ concava, dunque i due grafici stanno rispettivamente sempre sopra e sotto ad una retta fissata, in questo caso le rette sono $y=x+1$ e $y=x-1$.
Perfetto, grazie mille del vostro aiuto 
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