Dimostrazione differenziabilità=continuità
Dovrei dimostrare questo teorema, volevo cheidervi se manca qualcosa.
Io devo dimostrare che:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)[/tex]
Allora considero, aggiungo e sottraggo delle quantità:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-df}{\sqrt{h^2+k^2}}*\sqrt{h^2+k^2}+f(x_0,y_0)+df[/tex]
La frazione è esattamente il differenziale che tende a 0, dunque tutto il limite farebbe 0.
E così dovrebbe essere verificata...la continuità...?
Però non ho capito il perchè nella seconda parte dopo la frazione viene aggiunto [tex]f(x_0,y_0)[/tex]
P.S..mi potreste dire cosa manca?
Ed eventualemente, siccome mi sono accorto che mi manca la dimostrazione della disuguaglianza di Young, non dovrebbe essere lunga, potreste fornirmi la dimostrazione?
Grazie.
Io devo dimostrare che:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)[/tex]
Allora considero, aggiungo e sottraggo delle quantità:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-df}{\sqrt{h^2+k^2}}*\sqrt{h^2+k^2}+f(x_0,y_0)+df[/tex]
La frazione è esattamente il differenziale che tende a 0, dunque tutto il limite farebbe 0.
E così dovrebbe essere verificata...la continuità...?
Però non ho capito il perchè nella seconda parte dopo la frazione viene aggiunto [tex]f(x_0,y_0)[/tex]
P.S..mi potreste dire cosa manca?
Ed eventualemente, siccome mi sono accorto che mi manca la dimostrazione della disuguaglianza di Young, non dovrebbe essere lunga, potreste fornirmi la dimostrazione?
Grazie.
Risposte
non è vero l'asserto. semmai devi dimostrare che differenziabilità implica continuità.
E allora come dovrei fare?
Purtroppo ci sono alcune dimostrazioni che ho copiato male, e sto chiedendo aiuto qui....ma come va fatta?
Purtroppo ci sono alcune dimostrazioni che ho copiato male, e sto chiedendo aiuto qui....ma come va fatta?
Supponi che la data funzione [tex]$f$[/tex] sia differenziabile in un punto [tex]$(x_0;y_0)$[/tex], scrivi la definizione di differenziabilità in tale punto...
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-[(f_x(x_0,y_0)h+f_y(x_0,y_0)]}{\sqrt{h^2+k^2}}[/tex]
Questo limite deve essere 0.
Però non so cosa fare....per dimostrare la continuità.
Dovrei dimostrare che questo limite è uguale a [tex]f(x_0,y_0)[/tex] ?
Non saprei cos'altro scrivere.
Questo limite deve essere 0.
Però non so cosa fare....per dimostrare la continuità.
Dovrei dimostrare che questo limite è uguale a [tex]f(x_0,y_0)[/tex] ?
Non saprei cos'altro scrivere.
Manca la [tex]$k$[/tex] vicino a [tex]$\partial_yf(x_0;y_0)$[/tex]. Utilizza la definizione di limite per verificare la continuità di [tex]$f$[/tex]... se la memoria non m'inganna!
ciao ecco come la dimostro io ^^ o almeno come la dimostra il mio prof !
in pratica devi dimostrare che al limite per h-> 0
$ F(x_0+h)=F(x_0)$
scrivi la definizione di differenziabilità come
$ F(x_0+h)-F(x_0)- F'(X_0)h = o||h|| $
ovvero tutto il num è un o-piccolo della norma di h.
Portando la derivata di F' a destra verifichi che effettivamente, quando h->0, la differenza al primo membro
vale esattamente 0, dimostrando l'ipotesi di continuità
in pratica devi dimostrare che al limite per h-> 0
$ F(x_0+h)=F(x_0)$
scrivi la definizione di differenziabilità come
$ F(x_0+h)-F(x_0)- F'(X_0)h = o||h|| $
ovvero tutto il num è un o-piccolo della norma di h.
Portando la derivata di F' a destra verifichi che effettivamente, quando h->0, la differenza al primo membro
vale esattamente 0, dimostrando l'ipotesi di continuità
La scrittura come vettori è più comoda e compatta di quella per componenti...
Comunque:
[tex]\displaystyle \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) =[/tex]
[tex]\displaystyle = \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \parallel\mathbf{h}\parallel \frac{f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - D(f(\mathbf{x}_0))\mathbf{h}}{\parallel\mathbf{h}\parallel} + D(f(\mathbf{x}_0))\mathbf{h}[/tex]
Da qui tenendo conto che [tex]D(f(\mathbf{x}_0))\mathbf{h}\to \mathbf{0}[/tex] e la differenziabilità della funzione...
Comunque:
[tex]\displaystyle \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) =[/tex]
[tex]\displaystyle = \lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \parallel\mathbf{h}\parallel \frac{f(\mathbf{x}_0+\mathbf{h}) - f(\mathbf{x}_0) - D(f(\mathbf{x}_0))\mathbf{h}}{\parallel\mathbf{h}\parallel} + D(f(\mathbf{x}_0))\mathbf{h}[/tex]
Da qui tenendo conto che [tex]D(f(\mathbf{x}_0))\mathbf{h}\to \mathbf{0}[/tex] e la differenziabilità della funzione...
@justine: quella dimostrazione va bene nel caso di f di una variabile
nel caso di f di più variabili, assumiamo che x sia il vettore delle variabili. devi sfruttare la definizione di differenziabilità per arrivare a dire che una funzione differenziabile è continua.
non so che definizione di differenziabilità ti hanno dato, mi pare che in molti definiscano una f è differenziabile in $x_0$ se vale la seguente:
$f(x) = f(x_0) + < grad f(x_0), (x - x_0) > + o(||x - x_0||)$ per $x to x_0$
(volendo si può partire da una definizione leggermente più generale ed arrivare a questa)
per definizione, una f è continua in $x_0$ se $f(x) - f(x_0) = o(1)$ per $x to x_0$.
d'altra parte se f è differenziabile in x_0, hai che
$f(x) = f(x_0) + < grad f(x_0), (x - x_0) > + o(||x - x_0||) <= f(x_0) + ||grad f(x_0)|| \ ||x - x_0|| + o(||x - x_0||) to f(x_0) $ per $x to x_0$, da cui deduci la continuità
nel caso di f di più variabili, assumiamo che x sia il vettore delle variabili. devi sfruttare la definizione di differenziabilità per arrivare a dire che una funzione differenziabile è continua.
non so che definizione di differenziabilità ti hanno dato, mi pare che in molti definiscano una f è differenziabile in $x_0$ se vale la seguente:
$f(x) = f(x_0) + < grad f(x_0), (x - x_0) > + o(||x - x_0||)$ per $x to x_0$
(volendo si può partire da una definizione leggermente più generale ed arrivare a questa)
per definizione, una f è continua in $x_0$ se $f(x) - f(x_0) = o(1)$ per $x to x_0$.
d'altra parte se f è differenziabile in x_0, hai che
$f(x) = f(x_0) + < grad f(x_0), (x - x_0) > + o(||x - x_0||) <= f(x_0) + ||grad f(x_0)|| \ ||x - x_0|| + o(||x - x_0||) to f(x_0) $ per $x to x_0$, da cui deduci la continuità
@enr87 la dimostrazione di justine va bene sempre, basta interpretare i simboli in modo appropriato al caso. Ed è uguale alla tua all'incirca.
ora che la riguardo la mia dimostrazione non è del tutto corretta, ma credo si possa aggiustare il tiro facilmente
Beh qua non hai necessità di considerare la norma dell'operatore.
[edit] Anzi non devi considerarla, perchè confondi vettori con numeri, avresti dovuto passare tutto ai moduli.
[edit] Anzi non devi considerarla, perchè confondi vettori con numeri, avresti dovuto passare tutto ai moduli.
"Darèios89":
Dovrei dimostrare questo teorema, volevo cheidervi se manca qualcosa.
Io devo dimostrare che:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)[/tex]
Allora considero, aggiungo e sottraggo delle quantità:
[tex]\lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-df}{\sqrt{h^2+k^2}}*\sqrt{h^2+k^2}+f(x_0,y_0)+df[/tex]
La frazione è esattamente il differenziale che tende a 0, dunque tutto il limite farebbe 0.
E così dovrebbe essere verificata...la continuità...?
Però non ho capito il perchè nella seconda parte dopo la frazione viene aggiunto [tex]f(x_0,y_0)[/tex]
P.S..mi potreste dire cosa manca?
Ed eventualemente, siccome mi sono accorto che mi manca la dimostrazione della disuguaglianza di Young, non dovrebbe essere lunga, potreste fornirmi la dimostrazione?
Grazie.
Ma questa proprio non ci azzecca?
Perchè il problema è che l'ho scritta male nel quaderno a suo tempo, quindi mi sono venuti dubbi sulla correttezza.
Ma non è proprio corretta?
Cioè non si potrebbe sistemare in qualche modo ma seguire il procedimento? (ammesso che sia corretto).
Perchè quella forumula ce l'ho nel quaderno....mi sembra strano...magari è incompleta ma...non si può aggiustare? Forse aggiungendo qualcosa che dimostri il teorema?
Può essere del tutto sbagliata dato che è abbastanza chiara nel mio quaderno?
$\lim_{(h,k)->(0,0)} f(x_o + h,y_o + k) =$
Aggiungendo e sottraendo il valore della funzione nel punto e il differenziale calcolato in $(h,k)$ hai:
$= \lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-f^{'}(x_o,y_o)(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}*\sqrt{h^2+k^2}+f(x_0,y_0)+f^{'}(x_o,y_o)(h,k)$
Aggiungendo e sottraendo il valore della funzione nel punto e il differenziale calcolato in $(h,k)$ hai:
$= \lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-f^{'}(x_o,y_o)(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}*\sqrt{h^2+k^2}+f(x_0,y_0)+f^{'}(x_o,y_o)(h,k)$
"regim":
Beh qua non hai necessità di considerare la norma dell'operatore.
[edit] Anzi non devi considerarla, perchè confondi vettori con numeri, avresti dovuto passare tutto ai moduli.
esattamente quello che intendevo, dalla definizione di limite (ho sbagliato anche la continuità)
E quindi come hai scritto tu regim, dovrei avere dimostrato che differenziabilità implica continuità giusto?
Certamente, il differenziale o derivata delle funzioni multivariabili, non è un numero, è una traformazione lineare, almeno nel caso da te proposto, e la definizione è proprio espressa, sempre in quel caso, da una parte di quanto ho scritto io, e di quella parte il limite è $0$.
"regim":
$\lim_{(h,k)->(0,0)} f(x_o + h,y_o + k) =$
Aggiungendo e sottraendo il valore della funzione nel punto e il differenziale calcolato in $(h,k)$ hai:
$= \lim_{(h,k)->(0,0)}\frac{[f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)]-f^{'}(x_o,y_o)(h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}}*\sqrt{h^2+k^2}+f(x_0,y_0)+f^{'}(x_o,y_o)(h,k)$
che poi è la stessa cosa che ho scritto io 10 post fa usando i vettori (tranne il fatto che invece di dimostrare che $\lim_{(h,k)->(0,0)} f(x_o + h,y_o + k) = f(x_o,y_o)$ ho dimostrato che il limite della loro differenza è 0)... Scritto così ha solo valore per il caso due.
"vict85":
La tua è la migliore in assoluto, non ci piove.
Si ma allora visto che la dimostrazione di regim va bene, anche quella con cui ho aperto io il post dovrebbe andare bene.
Visto che sono identiche....
Visto che sono identiche....
Certo, se quel $df$, come forse intendevi, vuole dire quello che ho scritto io, allora va bene.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo