Dimostrazione di completezza di un insieme [RISOLTO]
Salve,
sto cercando di risolvere questo esercizio:
Si consideri lo spazio delle successioni limitate
sto cercando di risolvere questo esercizio:
Si consideri lo spazio delle successioni limitate
$E = { x = {x_n}_{n=0} ^infty ; \text{sup}_k |x_k|
e si dimostri che è uno spazio metrico completo con la distanza
Ho dimostrato che $d(x,y)$ è una distanza. L'intoppo salta fuori nel passaggio successivo: dimostrare la completezza di E. Un insieme è completo se le sue successioni di Cauchy convergono ad un elemento dell'insieme stesso. Non ho molte idee di come andare avanti... sul libro c'è la soluzione (che non ho comunque capito) ma mi piacerebbe riuscire ad arrivarci da sola (o con qualche aiutino
). Le dimostrazioni le trovo spesso ostiche anche solo da impostare. 
Ps. in latex, per scrivere sup scrivo semplicemente \sup ma qui viene fuori un altro simbolo e dove viene spiegato come scrivere le formule non mi sembra di averlo visto scritto esplicitamente.
e si dimostri che è uno spazio metrico completo con la distanza
$d(x,y) = \text{sup}_k |x_k - y_k|$.
Ho dimostrato che $d(x,y)$ è una distanza. L'intoppo salta fuori nel passaggio successivo: dimostrare la completezza di E. Un insieme è completo se le sue successioni di Cauchy convergono ad un elemento dell'insieme stesso. Non ho molte idee di come andare avanti... sul libro c'è la soluzione (che non ho comunque capito) ma mi piacerebbe riuscire ad arrivarci da sola (o con qualche aiutino
). Le dimostrazioni le trovo spesso ostiche anche solo da impostare. Ps. in latex, per scrivere sup scrivo semplicemente \sup ma qui viene fuori un altro simbolo e dove viene spiegato come scrivere le formule non mi sembra di averlo visto scritto esplicitamente.
Risposte
Ciao, benvenuta nel forum 
Ti do un input. Prendiamo una successione di Cauchy $x^{(n)}$in $E$ (osserva che $x^{(n)}$ è un elemento di $E$ per ogni $n$, quindi è una successione $x^{(n)} = (x_k^{(n)})_k$). Per definizione di successione di Cauchy, abbiamo:
$$\forall \epsilon>0, \, \exists n_0 \in \mathbb{N} \, \text{t.c.} \, m,n > n_0 \implies d(x^{(m)},x^{(n)}) < \epsilon$$
Scrivendo esplicitamente la distanza, otteniamo: \(\displaystyle \sup_k |x_k^{(m)}-x_k^{(n)}| < \epsilon \)
Questo implica che la relazione appena scritta è vera per ogni $k$ fissato (se è vera per il sup, a maggior ragione è vera per ogni $k$). Ma allora la successione $(x_k^{(n)})_n$ (successione rispetto a $n$) è di Cauchy in $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$) per ogni $k$ fissato. Sai continuare da qui?
Ti do un input. Prendiamo una successione di Cauchy $x^{(n)}$in $E$ (osserva che $x^{(n)}$ è un elemento di $E$ per ogni $n$, quindi è una successione $x^{(n)} = (x_k^{(n)})_k$). Per definizione di successione di Cauchy, abbiamo:
$$\forall \epsilon>0, \, \exists n_0 \in \mathbb{N} \, \text{t.c.} \, m,n > n_0 \implies d(x^{(m)},x^{(n)}) < \epsilon$$
Scrivendo esplicitamente la distanza, otteniamo: \(\displaystyle \sup_k |x_k^{(m)}-x_k^{(n)}| < \epsilon \)
Questo implica che la relazione appena scritta è vera per ogni $k$ fissato (se è vera per il sup, a maggior ragione è vera per ogni $k$). Ma allora la successione $(x_k^{(n)})_n$ (successione rispetto a $n$) è di Cauchy in $\mathbb{R}$ (o $\mathbb{C}$) per ogni $k$ fissato. Sai continuare da qui?
Grazie per la risposta rapida! 
Continuerei così:
se la successione è di Cauchy in $RR$ o $CC$, allora so automaticamente che è convergente ad un loro elemento (dato che $RR$ e $CC$ sono insiemi completi). Non mi è chiarissimo però perché tiro fuori $RR$ e $CC$ dato che nella definizione di E non se ne parla...
Quindi, per ogni k
Direi che ${x_k}$ è una nuova successione, in particolare la successione dei limiti delle successioni di Cauchy precedentemente definite. Immagino che adesso il punto sia dimostrare che ${x_k}$ sia un elemento di E, nel qual caso significherebbe che i limiti delle successioni di Cauchy sono dentro E (da cui la completezza). Per dimostrare che ${x_k} \in E$ devo verificare che sia limitata.
Da qui non so come andare avanti...
Continuerei così:
se la successione è di Cauchy in $RR$ o $CC$, allora so automaticamente che è convergente ad un loro elemento (dato che $RR$ e $CC$ sono insiemi completi). Non mi è chiarissimo però perché tiro fuori $RR$ e $CC$ dato che nella definizione di E non se ne parla...
Quindi, per ogni k
$exists \lim_{n rightarrow infty} x_k^{(n)} = x_k$
Direi che ${x_k}$ è una nuova successione, in particolare la successione dei limiti delle successioni di Cauchy precedentemente definite. Immagino che adesso il punto sia dimostrare che ${x_k}$ sia un elemento di E, nel qual caso significherebbe che i limiti delle successioni di Cauchy sono dentro E (da cui la completezza). Per dimostrare che ${x_k} \in E$ devo verificare che sia limitata.
Da qui non so come andare avanti...
Nella definizione dovrebbe dirti quelle successioni a che valori sono (reali o complessi). In genere, quando non è specificato, si dà per scontato che sia a valori reali (ma comunque la dimostrazione non cambia).
Per completare la dimostrazione, devi dimostrare che $x = (x_k)_k \in E$ e che $x^{(m)} \to x$ nella metrica $d$ (per ora hai dimostrato soltanto che ci tende puntualmente, cioè per ogni $k$ fissato).
Riscrivi la relazione di Cauchy: $|x_k^{(m)} - x_k^{(n)}| < \epsilon$, che è vera per ogni $k$ fissato e per ogni $m,n > n_0$ (dove h $n_0$ non dipende da $k$ perché la relazione è valida per il sup). Passando al limite per $n \to +\infty$, ottieni: $$|x_k^{(m)} - x_k| < \epsilon, \, m > n_0, \, \forall k$$
Allora, passando al sup: $$\sup_k |x_k^{(m)} - x_k| < \epsilon, \, m > n_0$$
Da questa relazione segue che:
1) \(\displaystyle \sup_k |x_k| \leq \sup_k |x_k^{(m_0)} - x_k| +\sup_k |x_k^{(m_0)}| \leq \epsilon + M \implies x \in E\)
dove ho fissato un $m_0 > n_0$ affinché il primo sup fosse minore di $\epsilon$, mentre il secondo è maggiorato semplicemente per il fatto che $x^{(m_0)} \in E$
2) \(\displaystyle \sup_k |x_k^{(m)} - x_k| \to 0 \), da cui la tesi
Per completare la dimostrazione, devi dimostrare che $x = (x_k)_k \in E$ e che $x^{(m)} \to x$ nella metrica $d$ (per ora hai dimostrato soltanto che ci tende puntualmente, cioè per ogni $k$ fissato).
Riscrivi la relazione di Cauchy: $|x_k^{(m)} - x_k^{(n)}| < \epsilon$, che è vera per ogni $k$ fissato e per ogni $m,n > n_0$ (dove h $n_0$ non dipende da $k$ perché la relazione è valida per il sup). Passando al limite per $n \to +\infty$, ottieni: $$|x_k^{(m)} - x_k| < \epsilon, \, m > n_0, \, \forall k$$
Allora, passando al sup: $$\sup_k |x_k^{(m)} - x_k| < \epsilon, \, m > n_0$$
Da questa relazione segue che:
1) \(\displaystyle \sup_k |x_k| \leq \sup_k |x_k^{(m_0)} - x_k| +\sup_k |x_k^{(m_0)}| \leq \epsilon + M \implies x \in E\)
dove ho fissato un $m_0 > n_0$ affinché il primo sup fosse minore di $\epsilon$, mentre il secondo è maggiorato semplicemente per il fatto che $x^{(m_0)} \in E$
2) \(\displaystyle \sup_k |x_k^{(m)} - x_k| \to 0 \), da cui la tesi
Ok così è molto più chiaro. Grazie 
Prego
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