Dimostrazione derivata della funzione potenza
Ciao ragazzi. Sto affrontando come argomento di studio il calcolo differenziale e sto cercando di capirci di più su alcune dimostrazioni di funzioni derivabili: ad esempio la funzione potenza $ x^n $.
Ora la mia domanda è questa: volendo calcolare il limite del rapporto incrimentale della funzione $ f(x)=x^n , n in N $ e per ogni $ x_0 in R $ come faccio a dimostrare che $ lim_(x -> x_0)(x^n-x_0^n) / (x-x_0) = n x^(n-1) $ ?
(oppure con $ lim_(h -> 0)((x+h)^n-x^n) / (h) = n x^(n-1) $ ).
Se n=0 il limite vale 0 , e se n=1 il limite vale 1. Ma come trovo il valore $ n x^(n-1) $ per n > 1 ?
Grazie dell'attenzione.
Ora la mia domanda è questa: volendo calcolare il limite del rapporto incrimentale della funzione $ f(x)=x^n , n in N $ e per ogni $ x_0 in R $ come faccio a dimostrare che $ lim_(x -> x_0)(x^n-x_0^n) / (x-x_0) = n x^(n-1) $ ?
(oppure con $ lim_(h -> 0)((x+h)^n-x^n) / (h) = n x^(n-1) $ ).
Se n=0 il limite vale 0 , e se n=1 il limite vale 1. Ma come trovo il valore $ n x^(n-1) $ per n > 1 ?
Grazie dell'attenzione.
Risposte
Sviluppa il binomio e vedrai che tutti i termini si semplificano con $h$ e solo uno rimane senz'acca ... 
Il problema a questo punto è quello di non saper sviluppare il binomio. Utilizzo la formula di Newton ( $ (a+b)^n = sum_(k = 0)^(n)((n!) / (k!(n-k)!))a^(n-k)b^k $ ) ? Se sì, come posso a questo punto semplificare i termini di una sommatoria scritta in forma chiusa? Grazie ancora..
Il primo termine è $x^n$ che si annulla con $-x^n$, il secondo è $nx^(n-1)*h$, dove l'acca si semplifica con quella al denominatore e rimane $nx^(n-1)$; tutti gli altri contengono un fattore $h^m$ con $m>1$ che, pur semplificato con l'acca al denominatore, mantiene almeno un'acca e quindi per $h->0$, si annullano. Ok?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Oppure... Dalla scomposizione:
\[
x^n - x_0^n = (x-x_0)\cdot (\underbrace{x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots + xx_0^{n-2}+x_0^{n-1}}_{n \text{ addendi}})
\]
segue che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} &= \lim_{x\to x_0} \underbrace{x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots + xx_0^{n-2}+x_0^{n-1}}_{n \text{ addendi}} \\
&= \underbrace{x_0^{n-1} +x_0^{n-1} + x_0^{n-1}+\cdots +x_0^{n-1}+x_0^{n-1}}_{n\text{ addendi}}\\
&=nx_0^{n-1}
\end{split}
\]
cosicché posto $f(x):=x^n$ trovi:
\[
f^\prime (x_0) = nx_0^{n-1}
\]
per ogni fissato $x_0$; quindi $f^\prime (x) =nx^{n-1}$.
\[
x^n - x_0^n = (x-x_0)\cdot (\underbrace{x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots + xx_0^{n-2}+x_0^{n-1}}_{n \text{ addendi}})
\]
segue che:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to x_0} \frac{x^n-x_0^n}{x-x_0} &= \lim_{x\to x_0} \underbrace{x^{n-1}+x^{n-2}x_0+x^{n-3}x_0^2+\cdots + xx_0^{n-2}+x_0^{n-1}}_{n \text{ addendi}} \\
&= \underbrace{x_0^{n-1} +x_0^{n-1} + x_0^{n-1}+\cdots +x_0^{n-1}+x_0^{n-1}}_{n\text{ addendi}}\\
&=nx_0^{n-1}
\end{split}
\]
cosicché posto $f(x):=x^n$ trovi:
\[
f^\prime (x_0) = nx_0^{n-1}
\]
per ogni fissato $x_0$; quindi $f^\prime (x) =nx^{n-1}$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo