Dimostrazione della disuguaglianza triangolare

[marco.atzori.1983]

Salve a tutti.
Il nostro professore di Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica stava spiegando la distanza fra numeri reali

[tex]$d(a,b) = |a - b|$[/tex]

[tex]$d(a,b) = |a - b|$[/tex] gode di alcune proprietà particolari, fra cui la proprietà triangolare: dato un triangolo di vertici [tex]$a$[/tex], [tex]$b$[/tex] e [tex]$c$[/tex] la somma delle distanze fra [tex]$a$[/tex] e [tex]$b$[/tex] e [tex]$a$[/tex] e [tex]$c$[/tex] è maggiore o uguale alla distanza fra [tex]$b$[/tex] e [tex]$c$[/tex]

[tex]$d(a,b) + d(a,c) \geq d(b,c)$[/tex]

[tex]$|a - b| + |a - c| \geq |b -c|$[/tex]

Per dimostrare che questa proprietà è vera, al termine [tex]$|b -c|$[/tex] ha aggiunto e tolto [tex]$a$[/tex]

[tex]$|b -c| = |b - c + a - a|$[/tex]
[tex]$|b -c| = |b - a + a - c|$[/tex]
[tex]$|b -c| = |a - b| + |a - c|$[/tex]

[tex]$|a - b| + |a - c|$[/tex] è la somma dei valori assoluti di due numeri reali. La somma dei valori assoluti di due numeri reali è maggiore o uguale al valore assoluto della somma dei due numeri stessi. Uguale se i numeri sono concordi, maggiore se i due numeri sono discordi.
Ponendo
[tex]$a - b = \alpha$[/tex]
[tex]$a - c= \beta$[/tex]
[tex]$|\alpha| + |\beta| \geq |\alpha + \beta|$[/tex]
Ma da questo momento in poi mi sono perso: che correlazione c'è con [tex]$|b -c|$[/tex]?

Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo

[seb1]

Non ho ben capito come faccia a dire che \(|b-c|=|a-b|+|a-c|\) dal momento che va a dimostrare proprio che essa non è generalmente vera; comunque, mantenendo l'ordine letterale prima di questa scomposizione, diciamo \(\alpha=b-a\) (o, equivalentemente, \(|a-c|=|c-a|\)), allora \(\alpha+\beta=b-a+a-c=b-c\implies|a-b|+|a-c|\geqslant|b-c|\).