Dimostrazione con numeri periodici
Salve a tutti, ho trovato in rete un orologio matematico: le ore sono scritte in funzione del 9. Per indicare il 7 praticamente c'è scritto: 9 - $sqrt(9)$ + 0,$\bar 9$ (a dire la verità non c'è scritto 0,$\bar 9$ ma ,$\bar 9$ ...ma credo sia un altro modo, forse non tanto corretto, di scrivere). Ora, perchè 0,$\bar 9$ fa 1? Grazie a tutti anticipatamente.
Risposte
Per esempio potremmo fare così ...
$x=0,\bar9$
$10*x=10*0,\bar9\ =>\ 10x=9,\bar9$
sottraiamo membro a membro
$10x-x=9,\bar9-0,\bar9\ =>\ 9x=9\ => x=9/9=1$
Cordialmente, Alex
$x=0,\bar9$
$10*x=10*0,\bar9\ =>\ 10x=9,\bar9$
sottraiamo membro a membro
$10x-x=9,\bar9-0,\bar9\ =>\ 9x=9\ => x=9/9=1$
Cordialmente, Alex
Da bambini ci insegnano delle regole di aritmetica senza dimostrazione, ma persuadendoci con degli esempi.
[Per esempio, in seconda elementare si impara come si fa la divisione tra due numeri interi ... che certe volte non finisce più e dà luogo ad un numero decimale periodico.]
Da grandi ... non sarebbe male dimostrare che quelle regole erano giuste!
Io ho avuto l'avventura di avere sempre lo stesso insegnante di matematica dalla 1ª media fino all'ultimo anno del liceo.
E dei suoi insegnamenti ricordo ancora moltissimo ... come fossero di ieri!
In particolare ricordo con precisione la regola che ci ha insegnato [in 1ª media] per trovare la "frazione generatrice" di un dato numero periodico.
In un numero periodico il nostro profe distingueva:
a) la parte intera (che potrebbe essere anche nulla);
b) l'antiperiodo (che potrebbe essere pure nullo, cioè non esserci affatto)
c) il periodo (cioè le cifre che poi si ripetono illimitatamente).
Per esempio, sia $x = 12,3bar 45$.
Allora: "12" è la parte intera di questo x, "3" è l'antiperiodo e "45" è il periodo.
In generale la frazione generatrice è quella che ha
a) per numeratore la differenza tra il numero senza virgola e troncato dopo il primo periodo e il numero fatto dalla parte intera seguita (senza virgola) dall'antiperiodo
b) e per denominatore un numero fatto da tanti "9" quante sono le cifre del periodo e tanti "0" quante sono le cifre dell'antiperiodo.
Poi ... quasi sempre c'è da semplificare la frazione dividendo numeratore e denominatore per gli eventuali fattori comuni.
Nell'esempio $x = 12,3bar 45$ si ottiene:
$x = (12345 - 123)/(990) = 12222/990 = (2·9·679)/(2·9·55) = 679/55$.
Un numero "periodico" è un numero razionale scritto aggiungendo ad una parte non periodica (che può essere anche nulla) una progressione geometrica illimitata che ha per ragione il reciproco di una potenza di 10 (con esponente uguale al numero di cifre del periodo).
Ricordiamo che, per |x|<1, la funzione $1/(1-x)$ è sviluppabile in serie di potenze convergente ... così:
$1/(1-x) =1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n + ...$.
[Questa serie è detta "serie geometrica"].
Se fai "4 diviso 3" trovi 1,3333333 .... = 1,$bar 3$.
Se ci pensi un attimo vedi che 1,$bar 3$ vuol dire
1 + $3·1/10·(1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)$.
La serie tra parentesi altro non è che lo sviluppo in serie [geometrica] di $1/(1 - 1/10)$, che vale $10/9$.
Pertanto:
1,$bar 3 = 1 + 3 1/10 (1 + 1/10 + 1/100 + 1 + 1/1000 + ...) = 1 + 3/10 1/(1 – 1/10) = 1+3/10 10/9 = 1+1/3 = 4/3$.
Analogamente:
0,$bar 9 = 0 + 9· 1/10 · (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... ) = 9/10·1/(1-1/10) = 9/10·10/9 = 1/1= 1$.
Intuitivamente, è chiarissimo che $0,bar 9$ debba fare 1.
Prendi prima 9/10 di 1, poi 9/10 del "decimo" che ti resta (e allora ti resta un "centesimo"), poi 9/10 di questo centesimo (e ti resta un "millesimo"), ecc. ecc.
In generale:
a) dividi una grandezza $x$ in $n$ parti; poi
b) prendine $n – 1$ e poi
c) ripeti senza sosta: «dividere la parte rimanente in $n$ parti, prenderne $n-1$ e aggiungerle a quanto già preso».
E' ovvio che, al limite, non resterà più niente da prendere!
Quello che raccogli è la serie:
$(n-1)/n ·(x + x/n +x/n^2 + x/n^3+ ...) = x·(n–1)/n · 1/(1 – 1/n) = x · (n - 1)/n · n/(n – 1) = x$.
________
[Per esempio, in seconda elementare si impara come si fa la divisione tra due numeri interi ... che certe volte non finisce più e dà luogo ad un numero decimale periodico.]
Da grandi ... non sarebbe male dimostrare che quelle regole erano giuste!
Io ho avuto l'avventura di avere sempre lo stesso insegnante di matematica dalla 1ª media fino all'ultimo anno del liceo.
E dei suoi insegnamenti ricordo ancora moltissimo ... come fossero di ieri!
In particolare ricordo con precisione la regola che ci ha insegnato [in 1ª media] per trovare la "frazione generatrice" di un dato numero periodico.
In un numero periodico il nostro profe distingueva:
a) la parte intera (che potrebbe essere anche nulla);
b) l'antiperiodo (che potrebbe essere pure nullo, cioè non esserci affatto)
c) il periodo (cioè le cifre che poi si ripetono illimitatamente).
Per esempio, sia $x = 12,3bar 45$.
Allora: "12" è la parte intera di questo x, "3" è l'antiperiodo e "45" è il periodo.
In generale la frazione generatrice è quella che ha
a) per numeratore la differenza tra il numero senza virgola e troncato dopo il primo periodo e il numero fatto dalla parte intera seguita (senza virgola) dall'antiperiodo
b) e per denominatore un numero fatto da tanti "9" quante sono le cifre del periodo e tanti "0" quante sono le cifre dell'antiperiodo.
Poi ... quasi sempre c'è da semplificare la frazione dividendo numeratore e denominatore per gli eventuali fattori comuni.
Nell'esempio $x = 12,3bar 45$ si ottiene:
$x = (12345 - 123)/(990) = 12222/990 = (2·9·679)/(2·9·55) = 679/55$.
"Cenzin":Per la stessa ragione per la quale 0,$\bar 3= 1/3$.
[...] perchè 0,$\bar 9$ fa 1?
Un numero "periodico" è un numero razionale scritto aggiungendo ad una parte non periodica (che può essere anche nulla) una progressione geometrica illimitata che ha per ragione il reciproco di una potenza di 10 (con esponente uguale al numero di cifre del periodo).
Ricordiamo che, per |x|<1, la funzione $1/(1-x)$ è sviluppabile in serie di potenze convergente ... così:
$1/(1-x) =1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + ... + x^n + ...$.
[Questa serie è detta "serie geometrica"].
Se fai "4 diviso 3" trovi 1,3333333 .... = 1,$bar 3$.
Se ci pensi un attimo vedi che 1,$bar 3$ vuol dire
1 + $3·1/10·(1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ...)$.
La serie tra parentesi altro non è che lo sviluppo in serie [geometrica] di $1/(1 - 1/10)$, che vale $10/9$.
Pertanto:
1,$bar 3 = 1 + 3 1/10 (1 + 1/10 + 1/100 + 1 + 1/1000 + ...) = 1 + 3/10 1/(1 – 1/10) = 1+3/10 10/9 = 1+1/3 = 4/3$.
Analogamente:
0,$bar 9 = 0 + 9· 1/10 · (1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... ) = 9/10·1/(1-1/10) = 9/10·10/9 = 1/1= 1$.
Intuitivamente, è chiarissimo che $0,bar 9$ debba fare 1.
Prendi prima 9/10 di 1, poi 9/10 del "decimo" che ti resta (e allora ti resta un "centesimo"), poi 9/10 di questo centesimo (e ti resta un "millesimo"), ecc. ecc.
In generale:
a) dividi una grandezza $x$ in $n$ parti; poi
b) prendine $n – 1$ e poi
c) ripeti senza sosta: «dividere la parte rimanente in $n$ parti, prenderne $n-1$ e aggiungerle a quanto già preso».
E' ovvio che, al limite, non resterà più niente da prendere!
Quello che raccogli è la serie:
$(n-1)/n ·(x + x/n +x/n^2 + x/n^3+ ...) = x·(n–1)/n · 1/(1 – 1/n) = x · (n - 1)/n · n/(n – 1) = x$.
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"Erasmus_First":
... Intuitivamente, è chiarissimo che $0,bar 9$ debba fare 1 ...
Per me, per niente ... ad intuito direi che sono "vicini" quanto si vuole ma mai uguali ... e invece no, sono proprio uguali ...
Peraltro quella che ho postato è una dimostrazione ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
Per esempio potremmo fare così ...
$x=0,\bar9$
$10*x=10*0,\bar9\ =>\ 10x=9,\bar9$
sottraiamo membro a membro
$10x-x=9,\bar9-0,\bar9\ =>\ 9x=9\ => x=9/9=1$
Cordialmente, Alex
Questa mi è piaciuta! Anche io lo avrei dimostrato sommando una serie geometrica, come Erasmus First, ma questo è molto più accattivante.
... Intuitivamente, è chiarissimo che $ o,\bar9 $ debba fare 1 ...
Penso che sia la più conosciuta come dimostrazione , comunque :
$ 1=1/3+2/3=0,bar3+0,bar6=0,bar9 $
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