Dimostrazione con integrale
Buondì,
è da qualche ora che provo a risolvere tale dimostrazione, utilizzando per lo più Lagrange ed il teorema della Media Integrale, ma senza successo
dimostra che
$ F(x)=int_(x-1)^(x+1) f(t) dt $
con f continua su R, esiste un punto c tale che
$ F(1)- F(0)= f(c+1)-f (c-1) $ con $ cin (0,1) $
utilizzando il teorema della media integrale su un intervallo di (x-1) ed (x+1) mi trovo che è uguale a 2f(c) ma poi non saprei come continuare, anche perchè ho pensato che dovessi provare che f(c) è una primitiva
è da qualche ora che provo a risolvere tale dimostrazione, utilizzando per lo più Lagrange ed il teorema della Media Integrale, ma senza successo
dimostra che
$ F(x)=int_(x-1)^(x+1) f(t) dt $
con f continua su R, esiste un punto c tale che
$ F(1)- F(0)= f(c+1)-f (c-1) $ con $ cin (0,1) $
utilizzando il teorema della media integrale su un intervallo di (x-1) ed (x+1) mi trovo che è uguale a 2f(c) ma poi non saprei come continuare, anche perchè ho pensato che dovessi provare che f(c) è una primitiva
Risposte
Qual è la derivata di $F$?
per il teorema fondamentale del calcolo integrale è f(t) in x-1 e x+1
E quindi poiché $f$ è continua allora $F$ è continua e inoltre derivabile per il teorema fondamentale quindi è di Lagrange in $[0,1]$ e si avrà che esiste un $c$ interno per cui
$F(1)-F(0)=F’(c)=f(c+1)-f(c-1)$
Fine
$F(1)-F(0)=F’(c)=f(c+1)-f(c-1)$
Fine
ma $f(c)$ non è uguale a $f(t)$? Non credo di aver capito bene i passaggi 
Tu per Lagrange hai che
$(F(1)-F(0))/(1-0)=F’(c)$
A questo punto torna alla domanda di gugo
$(F(1)-F(0))/(1-0)=F’(c)$
A questo punto torna alla domanda di gugo
ma non viene $f(c)$ ???? Perché la sua derivata è all'interno dell'integrale,quindi non ho capito quel $f(c+1) - f(c-1)$ come sia apparso...
Ti è noto che $F’(x)=f(x+1)-f(x-1)$? L’hai anche detto tu.
ma non vale solo in senso opposto????? cioè che $F'(x)(a-b)=F(a)- F(b)$ ? è che sto riguardando anche adesso il teorema di Torricelli-Barrow, che credevo di aver capito (dimostrazione compresa), ma da quello che dite mi sembra di non aver capito niente!!!!!!
cioè la differenza di primitive in a e b è pari alla differenza di 2 derivate in 2 punti generici dell'intervallo di integrazione????
Ecco l’inghippo.
Appena torno mi prenderò la briga di risponderti accuratamente se qualcuno non lo avrà già fatto
Appena torno mi prenderò la briga di risponderti accuratamente se qualcuno non lo avrà già fatto
"anto_zoolander":
Ti è noto che $F’(x)=f(x+1)-f(x-1)$? L’hai anche detto tu.
è la parte che devo dimostrare quella
"anto_zoolander":
Ecco l’inghippo.
Appena torno mi prenderò la briga di risponderti accuratamente se qualcuno non lo avrà già fatto
mille e uno grazie
Scusa, Matricola252, mi derivi queste funzioni qui:
\[
\phi (x) := \int_0^{x+1} f(t)\ \text{d} t\qquad \text{e} \qquad \psi (x) := \int_0^{x-1} f(t)\ \text{d} t\; ?
\]
\[
\phi (x) := \int_0^{x+1} f(t)\ \text{d} t\qquad \text{e} \qquad \psi (x) := \int_0^{x-1} f(t)\ \text{d} t\; ?
\]
$ phi'(x)= f(t) $
$ varphi'(x)= f(t) $ però questo è corretto solo nel caso in cui $(x-1, x+1)$ non stiano in un intorno di zero, avevo pensato a sdoppiarlo in un itegrale tra 1 e -1 infatti, però continuo a non avere dipendenza da c+1 e c-1.
$ varphi'(x)= f(t) $ però questo è corretto solo nel caso in cui $(x-1, x+1)$ non stiano in un intorno di zero, avevo pensato a sdoppiarlo in un itegrale tra 1 e -1 infatti, però continuo a non avere dipendenza da c+1 e c-1.
C'è un problema di fondo che è appunto legato al teorema fondamentale del calcolo integrale.
E' possibile dimostrare che una funzione integrale del tipo
con $f:J->RR$ e $h,g:I->J$
se $f$ è continua e $h,g$ sono derivabili allora
se non ti dovesse esser chiaro questo teorema, è meglio che prima di continuare lo studi.
E' possibile dimostrare che una funzione integrale del tipo
$F(x)=int_(g(x))^(h(x))f(t)dt$
con $f:J->RR$ e $h,g:I->J$
se $f$ è continua e $h,g$ sono derivabili allora
$F'(x)=f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x)$
se non ti dovesse esser chiaro questo teorema, è meglio che prima di continuare lo studi.
Aaaahhh, neanche lo conoscevo! Grazie
in effetti segue credo dal teorema di derivazione di una funzione composta immagino. Chiedo solo per verifica
Si in linea di massima si.
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