Dimostrare che una successione è decrescente
Come da titolo devo dimostrare che tale successione :
$a_n=ln(1+2e^n)/n^2$ è sempre decrescente..
Allora se la successione è sempre decrescente deve valere che $a_(n+1)
$ln(1+2e^(n+1))/(n+1)^2
Questa disuguaglianza devo dimostrare che è sempre vera, tuttavia con riesco a trovare un via algebrica..insomma vengono un po' di conti brutti facendo mcm e svoglendo la disequazione..per cui a questo punto ho pensato di usare questa proprietà:
$\lim_{n \to \0}a_(n+1)<\lim_{n \to \0}a_n$
allora anche $a_(n+1)
Ho messo i limiti che tendono a 0 in quanto ho verificato che la successione è convergente se n tende a infinito
Dunque svolgendo i due limiti per n che tende a 0
ottengo :
$ln(1+2e)<+infty$
Dunque anche la disuguaglianza è dimostrata..
Oppure no? Non mi convince quella proprietà che ho paura valga solo per la funzioni e i limiti non di successioni...che ne pensate? come si potrebbe alternativamente dimostrare che è decrescente sempre?
L'unica cosa che mi viene in mente è che se una successione è decrescente il limite per n che tende a infinito è uguale al suo estremo inferiore...
$a_n=ln(1+2e^n)/n^2$ è sempre decrescente..
Allora se la successione è sempre decrescente deve valere che $a_(n+1)
$ln(1+2e^(n+1))/(n+1)^2
Questa disuguaglianza devo dimostrare che è sempre vera, tuttavia con riesco a trovare un via algebrica..insomma vengono un po' di conti brutti facendo mcm e svoglendo la disequazione..per cui a questo punto ho pensato di usare questa proprietà:
$\lim_{n \to \0}a_(n+1)<\lim_{n \to \0}a_n$
allora anche $a_(n+1)
Ho messo i limiti che tendono a 0 in quanto ho verificato che la successione è convergente se n tende a infinito
Dunque svolgendo i due limiti per n che tende a 0
ottengo :
$ln(1+2e)<+infty$
Dunque anche la disuguaglianza è dimostrata..
Oppure no? Non mi convince quella proprietà che ho paura valga solo per la funzioni e i limiti non di successioni...che ne pensate? come si potrebbe alternativamente dimostrare che è decrescente sempre?
L'unica cosa che mi viene in mente è che se una successione è decrescente il limite per n che tende a infinito è uguale al suo estremo inferiore...
Risposte
Premessa non ho ben capito il fatto che sia convergente a $+infty$ con il fatto che le confronti a $0$. Detto ciò iniziamo :
$ln(1+2e^n)/(n^2)>=ln(1+2e^(n+1))/(n+1)^2$
Ok, iniziamo mettendo a "fattor comune" i valori $e^n$ ed $e^(n+1)$; otteniamo:
$ln(e^n(1/(e^n)+2))/n^2>=ln(e^(n+1)(1/(e^(n+1))+2))/(n+1)^2$
Poiché $log(ab)=log(a)+log(b)$ ed $ln(e^n)=n$
$1/n+ln(1/(e^n)+2)/n^2>=1/(n+1)+ln(1/(e^(n+1))+2)/(n+1)^2$
A questo punto $1/n>=1/(n+1)$ Ovvio. Se siamo fortunati basterà confrontare i due addendi rimanti, ed è proprio questo il caso. Poiché $ln(a)>ln(b) <=> a>b$ confrontiamo l' argomento dei logaritmi.
$1/(e^n)+2>=1/e^(n+1)+2$ Risulta evidente che è valida per ogni $n>=0$
Il denominatore "più grande" è posto sotto al nostro valore "più piccolo", questo non fa che darci ulteriore conferma che la successione data è decrescente.
$ln(1+2e^n)/(n^2)>=ln(1+2e^(n+1))/(n+1)^2$
Ok, iniziamo mettendo a "fattor comune" i valori $e^n$ ed $e^(n+1)$; otteniamo:
$ln(e^n(1/(e^n)+2))/n^2>=ln(e^(n+1)(1/(e^(n+1))+2))/(n+1)^2$
Poiché $log(ab)=log(a)+log(b)$ ed $ln(e^n)=n$
$1/n+ln(1/(e^n)+2)/n^2>=1/(n+1)+ln(1/(e^(n+1))+2)/(n+1)^2$
A questo punto $1/n>=1/(n+1)$ Ovvio. Se siamo fortunati basterà confrontare i due addendi rimanti, ed è proprio questo il caso. Poiché $ln(a)>ln(b) <=> a>b$ confrontiamo l' argomento dei logaritmi.
$1/(e^n)+2>=1/e^(n+1)+2$ Risulta evidente che è valida per ogni $n>=0$
Il denominatore "più grande" è posto sotto al nostro valore "più piccolo", questo non fa che darci ulteriore conferma che la successione data è decrescente.
Grazie! Mi ero impelagato sui calcoli...ma oltre a svolgere la disequazione non esitono altri metodi per dire se una successione è crescente o decrescente?
Se il termine generale della successione non è troppo complesso di solito basta verificare la disequazione
$a_(n) <= a_(n+1)$ per verificare che è crescente
$a_(n) >= a_(n+1)$ se decrescente
Per funzioni più complesse puoi sostituire ad $n$ la variabile $t in RR$ e fare la derivata prima, poi studi il segno della derivata, se è sempre maggiore di $0$ allora la successione è crescente, se sempre minore di $0$ allora è decrescente.
$a(n) -> (n = t) -> a(t)$
da $(t)/dt > 0$ crescente
da $(t)/dt < 0$ decrescente
Può anche capitare che una successione sia definitivamente crescente (decrescente) se lo è da un determinato indice $m in NN$ in poi. Buona fortuna
P.S.
Se intendi un metodo assolutamente privo di ogni disequazione non credo che esista, o meglio io non lo conosco.
$a_(n) <= a_(n+1)$ per verificare che è crescente
$a_(n) >= a_(n+1)$ se decrescente
Per funzioni più complesse puoi sostituire ad $n$ la variabile $t in RR$ e fare la derivata prima, poi studi il segno della derivata, se è sempre maggiore di $0$ allora la successione è crescente, se sempre minore di $0$ allora è decrescente.
$a(n) -> (n = t) -> a(t)$
da $(t)/dt > 0$ crescente
da $(t)/dt < 0$ decrescente
Può anche capitare che una successione sia definitivamente crescente (decrescente) se lo è da un determinato indice $m in NN$ in poi. Buona fortuna
P.S.
Se intendi un metodo assolutamente privo di ogni disequazione non credo che esista, o meglio io non lo conosco.
Ottimo, alla derivata ci avevo pensato stanotte... 
L'ultima parte che hai detto invece non è chiarissima, insomma si può succedere che una successione sia crescente da un certo indice in poi ma in che senso questo costituisce una dimostrazione? Potresti farmi un esempio? :S
Sono parecchio interessato
L'ultima parte che hai detto invece non è chiarissima, insomma si può succedere che una successione sia crescente da un certo indice in poi ma in che senso questo costituisce una dimostrazione? Potresti farmi un esempio? :S
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