Dimostrare che e^x >= 1 +x per ogni x appartenente ai rea
Dimostrare che e^x >= 1 +x per ogni x appartenente ai reali
Io ho iniziato a dimostarlo cosi ma non so come concludere!!!
Sia f(x)=e^x-1-x x appartenente ai reali
f(0)= 0
f' (x)= e^x -1 che è >0 se x>0; =0 se x=0; <0 se x<0.
Quindi la funzione cresce per x >0 e decresce per x<0.
E ora?
Io ho iniziato a dimostarlo cosi ma non so come concludere!!!
Sia f(x)=e^x-1-x x appartenente ai reali
f(0)= 0
f' (x)= e^x -1 che è >0 se x>0; =0 se x=0; <0 se x<0.
Quindi la funzione cresce per x >0 e decresce per x<0.
E ora?
Risposte
Io farei come te
Un unica funzione data da $f(x) = e^x - (x + 1)$
Hai trovato il punto di intersez con le x, ora sapendo che è continua (somma di due funz continue) in tutto $RR$, trovandoti i limiti a + e - $\infty$ e trovando che sono entrambi $+\infty$ dimostri che $e^x$ è sempre maggiore di x+1
(se vuoi essere più formale, dici che siccome il limite a $+\infty$ e $+\infty$, tra 0 e $+\infty$ non può mai essere negativa perchè dovrebbe esistere un altro punto in cui f(x) = 0 che non c'è, stessa cosa da meno infinito a 0)
Un unica funzione data da $f(x) = e^x - (x + 1)$
Hai trovato il punto di intersez con le x, ora sapendo che è continua (somma di due funz continue) in tutto $RR$, trovandoti i limiti a + e - $\infty$ e trovando che sono entrambi $+\infty$ dimostri che $e^x$ è sempre maggiore di x+1
(se vuoi essere più formale, dici che siccome il limite a $+\infty$ e $+\infty$, tra 0 e $+\infty$ non può mai essere negativa perchè dovrebbe esistere un altro punto in cui f(x) = 0 che non c'è, stessa cosa da meno infinito a 0)
Scusa ma il limite lo hai fatto di f(x9 o solo di e^x???
nono di tutta la funzione $e^x - (x+1)$
scusa ma come fa a tornarti +infinito???
si ok scusa!! mi torna!!!
allora, limite di una somma = somma dei limiti, giusto??
per $x->-\infty$ hai $o(1) + \infty = +\infty$
per $x->+\infty$ hai $+\infty - \infty$, ma ricordando che un esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad un polinomio sai che è $+\infty$
per $x->-\infty$ hai $o(1) + \infty = +\infty$
per $x->+\infty$ hai $+\infty - \infty$, ma ricordando che un esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad un polinomio sai che è $+\infty$
si si scusa!! avevo fatto uno stupidissimo errore!!
Tranquillo/a 
Ho un altro eserizio simile: cosx<= 1+((x^2)/2)+((x^4)/24
Ho fatto come prima:
f(x)=1+((x^2)/2)+((x^4)/24 - cos x
f(0)= 0
f'(x)= 4x +96x^3+senx che è <0 se x<0;=0 se x =0; >0 se x>0.
Ma poi i limiti nn mi tornano!!
Ho fatto come prima:
f(x)=1+((x^2)/2)+((x^4)/24 - cos x
f(0)= 0
f'(x)= 4x +96x^3+senx che è <0 se x<0;=0 se x =0; >0 se x>0.
Ma poi i limiti nn mi tornano!!
cmq vai nelle regole del forum e cerca come scrivere le formule, sennò si capisce poco 
cmq sia se ho capito bene abbiamo $cosx <=1+ (x^2)/2 + (x^4)/24
devi di nuovo dimostrare che una è sempre minore dell'altra?
Fai un altra cosa adesso, studiati $1+ (x^2)/2 + (x^4)/24$ e trovati il punto di minimo assoluto (con la derivata), se trovi che è $>= 1$ allora hai dimostrato, poichè il coseno oscilla tra -1 e 1
(non ho fatto i conti, e soprattutto quello che ho detto non vale al contrario, ovvero se $1+ (x^2)/2 + (x^4)/24$ ha un minimo minore di 12 non è detto che sia minore di cosx)
cmq sia se ho capito bene abbiamo $cosx <=1+ (x^2)/2 + (x^4)/24
devi di nuovo dimostrare che una è sempre minore dell'altra?
Fai un altra cosa adesso, studiati $1+ (x^2)/2 + (x^4)/24$ e trovati il punto di minimo assoluto (con la derivata), se trovi che è $>= 1$ allora hai dimostrato, poichè il coseno oscilla tra -1 e 1
(non ho fatto i conti, e soprattutto quello che ho detto non vale al contrario, ovvero se $1+ (x^2)/2 + (x^4)/24$ ha un minimo minore di 12 non è detto che sia minore di cosx)
Grazie nn sapevo come fare a mettere le formule!!!:D
Allora la derivata di $1+(x^2)/2+(x^4)/24$ è $x(96x(^2)+4)$
Il minimo è venuto 0.
Allora la derivata di $1+(x^2)/2+(x^4)/24$ è $x(96x(^2)+4)$
Il minimo è venuto 0.
Allora devi fare diversamente... calcolati la derivata di $cosx - (1+(x^2)/2 + (x^4)/24)$ e vedi dove sta il minimo se è minore di 0 si incontrano, altrimenti no
Non mi torna!! nn capisco perchè devi usare il minimo e poi nn mi tornano neanke i calcoli!!:( 
Ho modificato il messaggio... avevo saltato un simbolo e non si capiva nulla comunque sia, stesso ragionamento di prima... se trovi che il minimo della differenza delle 2 funzioni è minore di 0 vuol dire che la seconda funzione è più grande della prima, quindi succede che non è vero che è sempre più grande di cos x
comunque sia, stesso ragionamento di prima... se trovi che il minimo della differenza delle 2 funzioni è minore di 0 vuol dire che la seconda funzione è più grande della prima, quindi succede che non è vero che è sempre più grande di cos x
scusa, sulla prima funzione, dopo che hai ottenuto i risultati scritti nel primo post, non credo che hai bisogno del limite. puoi concludere che in zero c'è un minimo assoluto, e risulta f(0)=0. quindi per ogni x risulta f(x)>=0. almeno mi pare che basti questo, se non ho interpretato male il testo.
per la seconda, sono errati i oefficienti della derivata (hai moltiplicato, anziché dividere, per 2 e 24). anche qui non ti servono i limiti: f(x) ha un massimo assoluto in 0, con f(0)=0... dunque?
spero sia chiaro. ciao.
EDIT: scusate, ma ho risposto al messaggio della pagina precedente.
per la seconda, sono errati i oefficienti della derivata (hai moltiplicato, anziché dividere, per 2 e 24). anche qui non ti servono i limiti: f(x) ha un massimo assoluto in 0, con f(0)=0... dunque?
spero sia chiaro. ciao.
EDIT: scusate, ma ho risposto al messaggio della pagina precedente.
ada scusami, dubbio mio ma perchè trovare che ha un unica intersezione con le x e poi fare i limiti agli estremi (senza scomodare le derivate) nel primo caso non è un buon metodo?
ma perchè trovare che ha un unica intersezione con le x e poi fare i limiti agli estremi (senza scomodare le derivate) nel primo caso non è un buon metodo?
due cose:
- il mio suggerimento riguardava più che altro il fatto che *Marty* si era bloccata dopo aver trovato la derivata: a quel punto mi sembrava più semplice suggerirle come andare avanti sfruttando le cose già trovate, anche perché è una strada sicura e nell'esempio si è rivelata anche semplice.
- vanno benissimo soluzioni alternative, però il testo chiede che la disuguaglianza deve essere verificata per ogni x reale, quindi i limiti vanno bene ma non sono sufficienti: si dovrebbe dimostrare che la funzine è sempre positiva (o sempre negativa). con la continuità e con i limiti puoi provare che assume almeno una volta tutti i valori compresi tra .... blablabla. ma come dimostri che non attraversa mai l'asse x? anche tu qualche volta hai parlato di derivate, ma se sei comunque costretto a ricorrerci dopo, tanto vale che le fai subito e sfrutti l'andamento della funzione...
non so se ho capito la domanda. comunque, se non fosse così, prova a svolgere interamente un esercizio analogo e vedi che cosa riesci a concludere senza lo studio del segno della derivata. se riesci a rispondere alla domanda, postalo (se l'hai già fatto qui, scusami, ma mi sfugge...).
provo comunque a ragionare sull'argomento di questo topic.
riprendiamo il primo problema che è emblematico: la richiesta dell'esercizio è stata trasformata nello studio del segno di una funzione (non elementare). [anche secondo il tuo metodo?]. ti trovi i limiti [quali?]. abbiamo trovato f(0)=0. come dimostri che la funzione non cambia mai segno?
ciao.
- il mio suggerimento riguardava più che altro il fatto che *Marty* si era bloccata dopo aver trovato la derivata: a quel punto mi sembrava più semplice suggerirle come andare avanti sfruttando le cose già trovate, anche perché è una strada sicura e nell'esempio si è rivelata anche semplice.
- vanno benissimo soluzioni alternative, però il testo chiede che la disuguaglianza deve essere verificata per ogni x reale, quindi i limiti vanno bene ma non sono sufficienti: si dovrebbe dimostrare che la funzine è sempre positiva (o sempre negativa). con la continuità e con i limiti puoi provare che assume almeno una volta tutti i valori compresi tra .... blablabla. ma come dimostri che non attraversa mai l'asse x? anche tu qualche volta hai parlato di derivate, ma se sei comunque costretto a ricorrerci dopo, tanto vale che le fai subito e sfrutti l'andamento della funzione...
non so se ho capito la domanda. comunque, se non fosse così, prova a svolgere interamente un esercizio analogo e vedi che cosa riesci a concludere senza lo studio del segno della derivata. se riesci a rispondere alla domanda, postalo (se l'hai già fatto qui, scusami, ma mi sfugge...).
provo comunque a ragionare sull'argomento di questo topic.
riprendiamo il primo problema che è emblematico: la richiesta dell'esercizio è stata trasformata nello studio del segno di una funzione (non elementare). [anche secondo il tuo metodo?]. ti trovi i limiti [quali?]. abbiamo trovato f(0)=0. come dimostri che la funzione non cambia mai segno?
ciao.
ada giusto per non essere frainteso, la mia domanda era volta a esprimere un mio dubbio, non intendevo affatto criticare
Cmq adesso ci provo
Cmq adesso ci provo
hai fatto benissimo. il forum serve a questo.
sono stata cervellotica nella risposta perché di fatto avevo risposto abbastanza di getto, senza leggere molti interventi, quindi ero un po' spiazzata su quello che potesse significare il tuo dubbio. a presto.
sono stata cervellotica nella risposta perché di fatto avevo risposto abbastanza di getto, senza leggere molti interventi, quindi ero un po' spiazzata su quello che potesse significare il tuo dubbio. a presto.
confermo serve la derivate... chiedo scusa per l'errore
serve la derivate... chiedo scusa per l'errore
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