Dimostrare che ${1/(n+n^2)} < < {1/(1+n^2)}$

[BoG3]

Dimostrare che

[tex]\{\frac{1}{n+2^n}\} \ll \{\frac{1}{1+n^2}\}[/tex].

io ho pensato: beh per dimostrarlo basta che dimostro che

[tex]\{\frac{1}{n+2^n}\} + \{\frac{1}{1+n^2}\} \sim \{\frac{1}{1+n^2}\}[/tex]

quindi ho fatto così:

[tex]\{\frac{1}{n+2^n}\} + \{\frac{1}{1+n^2}\} \sim \{\frac{1}{1+n^2}\}[/tex]

[tex]\{\frac{1}{n+2^n} + \frac{1}{1+n^2}\} \sim \{\frac{1}{1+n^2}\}[/tex]

[tex]\{\frac{2^n+n^2+n+1}{n+n^3+2^n+2^n n^2}\} \sim \{\frac{1}{1+n^2}\}[/tex]

Studiando asintoticamente il termine dominante ho:

[tex]\{\frac{2^n+n^2+n+1}{n+n^3+2^n+2^n n^2}\} \sim \{\frac{2^n}{2^nn^2}\} \sim \{\frac{1}{n^2}\} \sim \{\frac{1}{1+n^2}\}[/tex]

è giusto fare così per dimostrare situazioni del genere? ho sbagliato da qualche parte?

grazie a tutti

[dissonance]

Meglio specificare cosa intendi per [tex]\ll[/tex].

[stefano_89]

il titolo ed il testo del problema sono diversi..

[BoG3]

scusate, pensavo fosse una cosa generale, evidentemente lo usa solo il mio prof

prese 2 successioni: [tex]\{x_n\} \ll \{y_n\}[/tex] significa che la successione [tex]\{y_n\}[/tex] è predominante su [tex]\{x_n\}[/tex] quando [tex]n \to \infty[/tex].