Dilemma Unità Immaginaria
Salve a tutti,
ho saputo recentemente, da un mio professore (di elettronica), che è sbagliato dire che $ j = sqrt(-1) $.
Ovviamente non si è degnato di spiegare il perchè ed ha aggiunto che è peggio per noi (classe di studenti) se non sappiamo il perchè.
Un episodio del genere è già capitato: un professore smonta una credenza comune senza però spiegare il perchè (come ad esempio che non bisogna trovare il dominio di una funzione perchè è insito nella funzione stessa. Il trovarlo è solo un esercizio per gli studenti per verificare se sanno fare le disequazioni giuste (frase di un altro mio professore)).
Comunque, andando avanti ha aggiunto che ancora ancora può accettare che $ j^2 = -1 $, ma la notazione corretta è
$ j*j = -1 $.
Vorrei sapere il perchè di queste seghe mentali e il perchè è necessaria una puntualizzazione del genere (in un corso di elettronica).
Ad elettrotecnica non ci siamo mai soffermati sull'aspetto puramente matematico dell'unità immaginaria.
E' possibile che la soluzione dell'arcano sia inserire il simbolo di "definizione" anziché quello dell' "uguale"?
Grazie.
ho saputo recentemente, da un mio professore (di elettronica), che è sbagliato dire che $ j = sqrt(-1) $.
Ovviamente non si è degnato di spiegare il perchè ed ha aggiunto che è peggio per noi (classe di studenti) se non sappiamo il perchè.
Un episodio del genere è già capitato: un professore smonta una credenza comune senza però spiegare il perchè (come ad esempio che non bisogna trovare il dominio di una funzione perchè è insito nella funzione stessa. Il trovarlo è solo un esercizio per gli studenti per verificare se sanno fare le disequazioni giuste (frase di un altro mio professore)).
Comunque, andando avanti ha aggiunto che ancora ancora può accettare che $ j^2 = -1 $, ma la notazione corretta è
$ j*j = -1 $.
Vorrei sapere il perchè di queste seghe mentali e il perchè è necessaria una puntualizzazione del genere (in un corso di elettronica).
Ad elettrotecnica non ci siamo mai soffermati sull'aspetto puramente matematico dell'unità immaginaria.
E' possibile che la soluzione dell'arcano sia inserire il simbolo di "definizione" anziché quello dell' "uguale"?
Grazie.
Risposte
E se il professore "volesse" sentire una definizione sulla base delle coppie di reali? Ovviamente dopo aver definito il prodotto tra complessi sotto forma di coppie.
Basterebbe dire:
$i$ (o $j$) è quella coppia ordinata $(a,b)$ di reali tale che: $(a,b)*(a,b)=(-1,0)$.
Basterebbe dire:
$i$ (o $j$) è quella coppia ordinata $(a,b)$ di reali tale che: $(a,b)*(a,b)=(-1,0)$.
Il punto è che se definisci $CC$ come l'anello quoziente \(\mathbb{R}[X]/(X^2+1)\) c'è una ambiguità di fondo nel dire "$\sqrt{-1}$". Quale delle due? Perché ce ne sono due, non puoi evitarlo. La scelta di una di queste radici fissa un isomorfismo $RR^2\cong CC$ (essenzialmente, stai scegliendo una base, oppure -equivalentemente- una presentazione per il gruppo di Galois di \(\mathbb C |\mathbb R\)). Questa scelta decide chi è l'operazione di coniugio, ossia decide come è definita $a+ib\mapsto a-ib$.
Ai conti, non cambia nulla; le due forme che $CC$ ha sono pressoché indistinguibili, ma c'è una ambiguità di fondo data da questa scelta. Come si fa ad eliminarla allora? Per esempio, considerando la coppia $(z, \bar z)$ l'ambiguità sparisce; e l'insieme \(\{(z,\bar z)\mid z\in \mathbb C\}\) è canonicamente isomorfo a $CC$, quindi ha sia il vantaggio di "essere $CC$", sia il vantaggio di esserlo in maniera più simmetrica. Più formalmente, è sufficiente considerare il pullback
\[
\begin{CD}
P @>>> \mathbb C \\
@VVV @VV\bar{(\_)}V\\\
\mathbb C @= \mathbb C
\end{CD}
\] della mappa identica e del coniugio, e qui \(P\cong \{(z,\bar z)\mid z\in \mathbb C\}\). Prima che mi diate contro per i soliti futili motivi da babbano, questo è esattamente il modo in cui veniva condotta la prima lezione del corso di funzioni di più variabili complesse nella mia università (anche dicendo la parola "pullback"), quindi anche gli analisti hanno ceduto all'incantesimo.
Ai conti, non cambia nulla; le due forme che $CC$ ha sono pressoché indistinguibili, ma c'è una ambiguità di fondo data da questa scelta. Come si fa ad eliminarla allora? Per esempio, considerando la coppia $(z, \bar z)$ l'ambiguità sparisce; e l'insieme \(\{(z,\bar z)\mid z\in \mathbb C\}\) è canonicamente isomorfo a $CC$, quindi ha sia il vantaggio di "essere $CC$", sia il vantaggio di esserlo in maniera più simmetrica. Più formalmente, è sufficiente considerare il pullback
\[
\begin{CD}
P @>>> \mathbb C \\
@VVV @VV\bar{(\_)}V\\\
\mathbb C @= \mathbb C
\end{CD}
\] della mappa identica e del coniugio, e qui \(P\cong \{(z,\bar z)\mid z\in \mathbb C\}\). Prima che mi diate contro per i soliti futili motivi da babbano, questo è esattamente il modo in cui veniva condotta la prima lezione del corso di funzioni di più variabili complesse nella mia università (anche dicendo la parola "pullback"), quindi anche gli analisti hanno ceduto all'incantesimo.
@killing
e se definissi la relazione $R={(z,w) inCCtimesCC|z*z=w}$ chiaramente $(pmi,-1_(CC)) inCC$ non ci sarebbe ambiguità ponendo non ci sarebbe ambiguità nel definire la radice di un numero complesso(l'unica cosa è che le radici sarebbero due)
e se definissi la relazione $R={(z,w) inCCtimesCC|z*z=w}$ chiaramente $(pmi,-1_(CC)) inCC$ non ci sarebbe ambiguità ponendo non ci sarebbe ambiguità nel definire la radice di un numero complesso(l'unica cosa è che le radici sarebbero due)
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