Differenziali di secondo ordine
$y'' - 4y' + 13y = xe^x$
risolvo l'omogenea
$lambda^2 -4lambda + 13= 0$
$y_(om)= C_1 e^(2x)cos(3x) + C_2 e^(2x)sin(3x)$
ora non so come continuare per trovare la soluzione completa
risolvo l'omogenea
$lambda^2 -4lambda + 13= 0$
$y_(om)= C_1 e^(2x)cos(3x) + C_2 e^(2x)sin(3x)$
ora non so come continuare per trovare la soluzione completa
Risposte
L'equazione differenziale è del tipo: $f(y'',y',y)=b(x)$ dove $b(x)=P(x)*e^(alphax)$
Quindi esiste: $psi(x)=x^m*Q(x)e^(alpha*x)|deg(P(x))=deg(Q(x)),m=ma(alpha)$ soluzione particolare della non omogenea.
$deg(P(x))=1$
$m=ma(alpha=1)=0$
Quindi ottieni: $psi(x)=(Ax+B)e^x|A,BinRR$ non ti resta che trovare $A$ e $B$.
Quindi esiste: $psi(x)=x^m*Q(x)e^(alpha*x)|deg(P(x))=deg(Q(x)),m=ma(alpha)$ soluzione particolare della non omogenea.
$deg(P(x))=1$
$m=ma(alpha=1)=0$
Quindi ottieni: $psi(x)=(Ax+B)e^x|A,BinRR$ non ti resta che trovare $A$ e $B$.
frequento il primo anno di ingegneria chimica, studio analisi 1..... il 90% delle cose che hai scritto non le capisco..
so solo che devo trovare una funzione polinomiale dello stesso ordine. faccio derivata prima e seconda. poi?
so solo che devo trovare una funzione polinomiale dello stesso ordine. faccio derivata prima e seconda. poi?
Ciao, mi dispiace di non essere stato chiaro ma i passaggi che ho scritto non mi sembravano difficili.
Comunque considera la funzione $psi(x)=(Ax+B)e^x|A,BinRR$, la teoria ci dice che sicuramente -per opportuni valori di $A,B$ questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale non omogenea.
Cosa vuol dire questo? Vuol dire che:
$psi''(x)-4psi'(x)+13psi(x)=x*e^x$
Ti calcoli le derivate, sostituisci il tutto e trovi $A$ e $B$.
Comunque considera la funzione $psi(x)=(Ax+B)e^x|A,BinRR$, la teoria ci dice che sicuramente -per opportuni valori di $A,B$ questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale non omogenea.
Cosa vuol dire questo? Vuol dire che:
$psi''(x)-4psi'(x)+13psi(x)=x*e^x$
Ti calcoli le derivate, sostituisci il tutto e trovi $A$ e $B$.
Domandina, sostituisco le derivate nell'equazione di partenza o le eguaglio ai valori dei rispettivi coefficienti?
Quali coefficienti?
i coefficienti di $y''$ , $y'$ e $y$
perchè ho due incognite A e B e una sola equazione dove sostituirli. sempre che abbia ben interpretato le tue parole.
perchè ho due incognite A e B e una sola equazione dove sostituirli. sempre che abbia ben interpretato le tue parole.
Bhè il fatto che tu abbia due incognite non è un problema.
Allora:
Calcolati $psi'(x)$ poi $psi''(x)$.
Sostituisci nell'equazione differenziale $y(x)$ con $psi(x)$, $y'(x)$ con $psi'(x)$ ed infine $y''(x)$ con $psi''(x)$.
Ovvero: $psi''(x)-4psi'(x)+13psi(x)=x*e^x$
Poi usa il principio di identità tra i polinomi.
Allora:
Calcolati $psi'(x)$ poi $psi''(x)$.
Sostituisci nell'equazione differenziale $y(x)$ con $psi(x)$, $y'(x)$ con $psi'(x)$ ed infine $y''(x)$ con $psi''(x)$.
Ovvero: $psi''(x)-4psi'(x)+13psi(x)=x*e^x$
Poi usa il principio di identità tra i polinomi.
correggimi se sbaglio
$\psi = (Ax+B)e^x $
$\psi ' = (Ax + A + B)e^x $
$\psi '' = (Ax + 2A + B)e^x $
poi
$(Ax+B)e^x - 4*(Ax + A + B)e^x + 13*(Ax + 2A + B)e^x = xe^x$
$(Ax+ 2A +B) - 4*(Ax + A + B) + 13*(Ax + B) = x$
$ 10Ax + 10B - 2A=x$
$\{(10A=1),(-2A +10B=0):}$
da cui $A=1/10$ e $B= 1/50$
$y= C_1 e^(2x)cos(3x) + C_2 e^(2x)sin(3x) + (1/10x + 1/50 )e^x$
right?
$\psi = (Ax+B)e^x $
$\psi ' = (Ax + A + B)e^x $
$\psi '' = (Ax + 2A + B)e^x $
poi
$(Ax+B)e^x - 4*(Ax + A + B)e^x + 13*(Ax + 2A + B)e^x = xe^x$
$(Ax+ 2A +B) - 4*(Ax + A + B) + 13*(Ax + B) = x$
$ 10Ax + 10B - 2A=x$
$\{(10A=1),(-2A +10B=0):}$
da cui $A=1/10$ e $B= 1/50$
$y= C_1 e^(2x)cos(3x) + C_2 e^(2x)sin(3x) + (1/10x + 1/50 )e^x$
right?
Brava 
i'm a man!!!!!
cmq mi potresti dire scrivere -senza entrare troppo nei particolarismi- le metodiche di risoluzione per le differenziali di secondo ordine? perchè io conoscevo il metodo della variazione delle costanti ma qui non sono riuscito ad applicarla..
cmq mi potresti dire scrivere -senza entrare troppo nei particolarismi- le metodiche di risoluzione per le differenziali di secondo ordine? perchè io conoscevo il metodo della variazione delle costanti ma qui non sono riuscito ad applicarla..
"Mrs92":
i'm a man!!!!!
Ups sorry (ti chiami Mrs)!
Comuque vedo che i tuoi dubbi riguardano la ricerca di una soluzione particalore della non omogenea.
A proposito un po' di tempo fa ho scritto in risposta a un quesito del genere un bel po' di esempi che ti potrebbero interessare
http://www.matematicamente.it/forum/dubbio-su-risoluzione-eq-differenziale-t99013.html
del post che mi hai suggerito non capisco come tu abbia ottenuto la soluzione per "simpatia", da dove esce fuori?
vediamo di aiutarti ad aiutarmi.
Io mi fermo con il corso ai differenziali di secondo ordine, non vado oltre.
se ho un'omogenea di secondo ordine la risolvo trovando le radici della funzione in $lambda$ al posto di $y$
e in base al determinante applico la formuletta corrispondente
infine per trovare $C$ e dare volto alla soluzione particolare inserisco le condizioni dell'eventuale problema di Cauchy.
fino a cui nessuna domanda.
nel caso non omogeneo
devo risolvere prima l'omogenea associata e in base al determinante applico la formuletta corrispondente come sopra
(domanda: ci faccio qualcosa con le eventuali molteplicità??)
a questo punto immagino che in base alla funzione $g(x)$ a detra dell'uguale ho diverse soluzioni, e immagino che la risoluzione dipende anche dal fatto che compaiano da qualche parte gli autovalori dell'omogenea.....
qui si fermano le mie conoscenze, purtroppo...
vediamo di aiutarti ad aiutarmi.
Io mi fermo con il corso ai differenziali di secondo ordine, non vado oltre.
se ho un'omogenea di secondo ordine la risolvo trovando le radici della funzione in $lambda$ al posto di $y$
e in base al determinante applico la formuletta corrispondente
infine per trovare $C$ e dare volto alla soluzione particolare inserisco le condizioni dell'eventuale problema di Cauchy.
fino a cui nessuna domanda.
nel caso non omogeneo
devo risolvere prima l'omogenea associata e in base al determinante applico la formuletta corrispondente come sopra
(domanda: ci faccio qualcosa con le eventuali molteplicità??)
a questo punto immagino che in base alla funzione $g(x)$ a detra dell'uguale ho diverse soluzioni, e immagino che la risoluzione dipende anche dal fatto che compaiano da qualche parte gli autovalori dell'omogenea.....
qui si fermano le mie conoscenze, purtroppo...
Ciao, cercherò di essere il meno formale e più semplicistico rispetto al post che ti ho linkato:
Considera l'equazione caratteristica: $(lambda-5)^2=0$
Unico autovalore $lambda=5$, $ma(5)=2$.
Sistema fondamentale di soluzioni:
${(phi_1(t)=e^(5t)),(phi_2(t)=t*e^(5t)):}$
Integrale generale dell'omogenea:
$phi(t)=c_1e^(5t)+c_2te^(5t)$ con $c_1,c_2 in RR$
Ricerca di una soluzione particolare per la non omogenea: vogliamo cercare una soluzione tra una famiglia di funzioni simili al termine noto.
Caso $A$: il termine noto si può ricondurre a $P(x)e^(alphax)$ dove:
-$alpha$ è un numero reale;
-$P(x)$ è un polinomio a coefficienti reali;
Cerco $psi(x)=x^mQ(x)e^(alphax)$ dove:
-$m$ = molteplicità algebrica di $alpha$ come soluzione dell'equazione caratteristica: se non è soluzione $m=0=>x^m=1$!!
-$Q(x)$ è un polinomio a coefficienti reali dello stesso grado di $P(x)$ es: $P(x)=3x^2$ $=>$ $Q(x)=Ax^2+Bx+C $ con $A,B,C in RR$;
Il caso $B$ quando il termine noto si può ricondurre a $e^(sigmax)(Q_1(x)cos(taux)+Q_2(x)sin(taux))$ è concettualmente simile al caso precedente e quindi riuscirari a comprenderlo dal post linkato.
Comunque sia, per padroneggiare questi argomenti l'unica soluzione è: teoria e tanti esercizi!
"Mrs92":
nel caso non omogeneo
devo risolvere prima l'omogenea associata e in base al determinante applico la formuletta corrispondente come sopra
(domanda: ci faccio qualcosa con le eventuali molteplicità??)
Considera l'equazione caratteristica: $(lambda-5)^2=0$
Unico autovalore $lambda=5$, $ma(5)=2$.
Sistema fondamentale di soluzioni:
${(phi_1(t)=e^(5t)),(phi_2(t)=t*e^(5t)):}$
Integrale generale dell'omogenea:
$phi(t)=c_1e^(5t)+c_2te^(5t)$ con $c_1,c_2 in RR$
Ricerca di una soluzione particolare per la non omogenea: vogliamo cercare una soluzione tra una famiglia di funzioni simili al termine noto.
Caso $A$: il termine noto si può ricondurre a $P(x)e^(alphax)$ dove:
-$alpha$ è un numero reale;
-$P(x)$ è un polinomio a coefficienti reali;
Cerco $psi(x)=x^mQ(x)e^(alphax)$ dove:
-$m$ = molteplicità algebrica di $alpha$ come soluzione dell'equazione caratteristica: se non è soluzione $m=0=>x^m=1$!!
-$Q(x)$ è un polinomio a coefficienti reali dello stesso grado di $P(x)$ es: $P(x)=3x^2$ $=>$ $Q(x)=Ax^2+Bx+C $ con $A,B,C in RR$;
Il caso $B$ quando il termine noto si può ricondurre a $e^(sigmax)(Q_1(x)cos(taux)+Q_2(x)sin(taux))$ è concettualmente simile al caso precedente e quindi riuscirari a comprenderlo dal post linkato.
Comunque sia, per padroneggiare questi argomenti l'unica soluzione è: teoria e tanti esercizi!
Grazie per l'immensa disponibilità...
vediamo di concretizzare:
$y'' − 8y' + 15y = 2 e^(3x)$
risolvo l'omogenea associata e ho come risultati
$lambda_1 =3 $ e $lambda_2 = 5$
quindi $y_(om)= C_1 e^(3x) + C_2 e^(5x)$
ora ho e^(3x) che è soluzione e e^(5x) che non è soluzione
come mi comporto nei due casi?
vediamo di concretizzare:
$y'' − 8y' + 15y = 2 e^(3x)$
risolvo l'omogenea associata e ho come risultati
$lambda_1 =3 $ e $lambda_2 = 5$
quindi $y_(om)= C_1 e^(3x) + C_2 e^(5x)$
ora ho e^(3x) che è soluzione e e^(5x) che non è soluzione
come mi comporto nei due casi?
Il termine noto è $2e^(3x)$ la domanda che ti devi fare è :
$alpha=3$ è soluzione dell'equazione caratteristica ? Se sì che molteplicità algebrica ha ?
$alpha=3$ è soluzione dell'equazione caratteristica ? Se sì che molteplicità algebrica ha ?
si è soluzione con molteplicità 1
Bene dunque come sarà la soluzione particolare che cerchi ?
$Axe^(3x)$ ??
Oh finalmente ci siamo !!
e col 5 che ci faccio?
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