Differenziali di secondo ordine

[Mrs92]

$y'' - 4y' + 13y = xe^x$

risolvo l'omogenea

$lambda^2 -4lambda + 13= 0$
$y_(om)= C_1 e^(2x)cos(3x) + C_2 e^(2x)sin(3x)$

ora non so come continuare per trovare la soluzione completa

[Sk_Anonymous]

Povero lordb, dopo tutti quei conti alla fine era solo un'equazione semplicissima!
Non ti anticipo lo svolgimento, non mi sembra corretto nei confronti di lordb che ti sta seguendo da un bel pezzo, però ti invito a pensarci un pochino, se noti una cosa piuttosto evidente il problema diventa semplicissimo.

[lordb]

Ahah vabbè mi hai fatto un po' sudare

Comunque vale lo stesso discorso di prima, niente equazione caratteristica etc.. è un tipo di equazione differenziale diversa!

Per prima cosa trasformiamo il problema in uno a variabili separabili.

$y''(x)=e^(2x)*e^(-2y'(x))$

$e^(-2y'(x))!=0=>e^(2y(x))y''(x)=e^(2x)$

Ora possiamo integrare a destra e a sinistra:

$int_0^x e^(2y'(u))y''(u)du=int_0^xe^(2u)du$

Sai procedere?

edit: @Alfius Non c'è problema se vuoi intervenire sei il benvenuto !

[Mrs92]

non hai idea di quanto sono affranto per averti fatto penare inutilmente, chiedo venia

ci provo domani

[lordb]

Dai non c'è problema, good night !

[Mrs92]

continuo a essere costernato per ieri sera......


cmq questo tipo di problemi li so risolvere fino ad un certo punto.
Normalmente sostituisco $z=y'$ e $z'=y''$

risolvo come una EDO di 1° ordine, una volta che ho la soluzione generale (ammesso che non bisogna applicare per ora le condizioni di cauchy) che faccio?

[lordb]

Ciao, se guardi nel mio ora terzultimo post avevo fatto i primi passaggi trasformando il problema in uno a variabili separabili, comunque se ti aggrada abbassare il grado prosegui con la tua idea.

[Mrs92]

il fatto è che mi sembra si possano usare entrambi i modi ma col metodo che ho iniziato io non saprei come proseguire oltre a ciò che ho scritto.

per quanto riguarda il tuo metodo

$int_0^x e^(2y'(u))y''(u)du=int_0^xe^(2u)du$
potrei fare così

$1/2e^(2y') = 1/2e^(2x)$

visti gli zeri nell'intervallo considerato avrei dovuto mettere anche gli $1$?

[lordb]

$int_0^x e^(2y'(u))y''(u)du=int_0^xe^(2u)du$

Moltiplico per $2$ a destra e a sinistra:

$int_0^x e^(2y'(u))2y''(u)du=2int_0^xe^(2u)du$

$[e^(2y'(u))]_0^x=2[e^(2u)/2]_0^x$

$[e^(2y'(u))]_0^x=[e^(2u)]_0^x$

$e^(2y'(x))-e^(2y'(0))=e^(2x)-1$

$e^(2y'(x))-e^(2e)=e^(2x)-1$

$e^(2y'(x))=e^(2x)-1+e^(2e)$

$y'(x)=1/2*log(e^(2x)-1+e^(2e))$

Ok integrare questa mi sembra un po' dura (se non impossibile con le nostre funzioncine )

Dunque procedi con la tua idea che magari ti porta bene!

[Mrs92]

quindi il tuo metodo prevedeva una duplice integrazione per ottenere la funzione soluzione...


bhè il mio metodo si ferma dove ho già scritto, ma immagino che anche io dovrei integrare...

[lordb]

Wolfram dice che la soluzione non è banale, sei sicuro che il testo sia proprio quello?

[Mrs92]

sì, ho la traccia davanti agli occhi.

[lordb]

Ok proviamo con un'altra sostituzione:

$z'(x)=2(x-y'(x))=>(z'(x))/2=x-y'(x)=>y'(x)=x-(z'(x))/2=>y''(x)=1-(z''(x))/2$

Sostituendo:

$1-z''(x)=e^(z'(x))$

Da qui non ne usciamo interi

Credo a questo punto che sia la traccia dell'esercizio ad essere sbagliata, immagino tu non abbia la soluzione vero?

[Mrs92]

è una traccia d'esame..... nessuna soluzione, nessuna speranza.

in generale come si risolvono le EDO di 2° grado in $(y'',y')$ a coefficienti variabili?

[lordb]

Non c'è un metodo diciamo "generale" quindi è un po' un problema.

Una traccia d'esame ? E se non ci fosse soluzione banale ?

[Mrs92]

individuare il valori di $lambda$ affinchè il problema abbia soluzioni non identicamente nulle

$y'' + y = lambda y$
+ condizioni

questa, ad occhio è normale?


sennò una che ho proposto in un altro thread


risolvere:
$y'' + (y')/x = 5/x$

ho posto z = y' e z'= y''

ho quindi risolto: z' + (z/x) = ( 5/x)

che mi dà: $ z(x) = 1/x(5x + c)$

ora come proseguo?

[Sk_Anonymous]

"Mrs92":ho scritto male......


$\{(y'' = e^(2x - 2y')),(y(0) = e),(y'(0) = 0):}$

immagino che cambi molto

$e^{2y\ '}y''=e^{2x}$

$\int_0^x e^{2y\ '(t)}y''(t)dt = \int_0^x e^{2t}dt$

$1/2(e^{2y\ '(x)}-e^{2y\ '(0)})=1/2(e^{2x}-1)$

Ora inserisco $y\ '(0)=0$ (è stata qui la tua piccola svista, lordb)

$e^{2y\ '(x)}=e^{2x}\Rightarrow y\ '(x)=x\Rightarrow y(x)=1/2x^2+y(0)=1/2x^2+e$

[Mrs92]

quindi per risolvere EDO di 2° grado a coefficienti variabili non esiste una metodica standard, ma in generale è buon uso operare una sotituzione e poi integrare per ottenere la funzione soluzione. Giusto?

[lordb]

Ahah grazie Alfius, dovevo essere ubriaco

[lordb]

Ok la tua idea è buona:

$y'' + (y')/x = 5/x$

$z(x)=y'(x) => y''(x)=z'(x)$

$z'(x)+(z(x))/x=5/x$

$z'(x)=(5-z(x))/x$

$int 1/(5-z(x))*z'(x)dx = int 1/xdx$

$-log(|5-z(x)|)=log|x|+c_(1inRR)$

Dal momento che non abbiamo le condizioni del problema faccio:

$-log(5-y'(x))=log(x)+c_1$

$log(5-y'(x))+log(x)+c_1=0$

$log(5-y'(x))*x*e^(c_1)=log(1)$

$(5-y'(x))*x*e^(c_1)=1$

$(5-y'(x))=e^(-c_1)/x$

$y'(x)=5-e^(-c_1)/x$

$int y'(x)dx=int(5-e^(-c_1)/x)dx$

$y(x)=5x-e^(-c_1)log(x)+c_(2inRR)$

$y(x)=5x+c_1log(x)+c_2$

[Mrs92]

$y' + xy = xsin(x^2)$

ho usato il metodo di base per le EDO non omogenee

ed ho ottenuto: $y_(x) = (sen(x^2) - 2cos(x^2))/5 + c$

ammesso che sia giusto, mi viene inizialmente chiesto l'integrale generale, e ci dovremmo essere, poi mi chiede di discutere la limitatezza delle soluzioni, e qui non saprei che fare, e mi chiede l'esistenza del limite di $g(x,c)$ per $x->+oo$ al variare della costante $c$

ora, il limite lo potrei anche trovare ma cosa ci faccio con $c$ variabile?