Differenziali di secondo ordine

[Mrs92]

$y'' - 4y' + 13y = xe^x$

risolvo l'omogenea

$lambda^2 -4lambda + 13= 0$
$y_(om)= C_1 e^(2x)cos(3x) + C_2 e^(2x)sin(3x)$

ora non so come continuare per trovare la soluzione completa

[lordb]

Ti dispiace non farci niente ?

Attenzione che $P(x)e^(alphax)$ è il termine[size=150]noto[/size](quello a destra dell'uguale nell'equazione differenziale di partenza per intenderci), non i termini che figurano nell'integrale generale!!

[Mrs92]

ok sempre più chiaro....

se invece nessuno degli $alpha$ soluzione dell'associata fosse comparso nel termine forzante, che facevo?

$(Ax + B)e^(beta x)$ ?

[lordb]

Avresti cercato:

$psi(x)=A*x^0*e^(alphax)=A*e^(alphax)$

[Mrs92]

il suggerimento che mi hai dato nel secondo post della prima pagina era riferito unicamente al caso di soluzioni complesse?

[lordb]

"lordb":Ciao, mi dispiace di non essere stato chiaro ma i passaggi che ho scritto non mi sembravano difficili.

Comunque considera la funzione $psi(x)=(Ax+B)e^x|A,BinRR$, la teoria ci dice che sicuramente -per opportuni valori di $A,B$ questa è una soluzione particolare dell'equazione differenziale non omogenea.

Cosa vuol dire questo? Vuol dire che:

$psi''(x)-4psi'(x)+13psi(x)=x*e^x$

Ti calcoli le derivate, sostituisci il tutto e trovi $A$ e $B$.

Dici questo ?

[Mrs92]

mi riferivo a quello sopra, ma ciò che mi interessava era $(Ax+B)e^x$

[lordb]

No assolutamente, questo suggerimento non dipende dal tipo di soluzioni ma solo da come è espresso il termine noto.

Se non ti è chiaro trova un altro esempio di equazione differenziale di secondo ordine (ma sappi che le considerazioni sono valide per qualsiasi equazione differenziale di ordine $n$ a coefficienti costanti) e ne discutiamo.

[Mrs92]

vediamo se riesco a renderti fiero di ciò che mi hai detto:

$y'' − 8y' + 15y = 2 e^(3x)$

le soluzioni dell'omogenea le conosci, visto che una è soluzione e che il coefficiente di e^(3x) (termine forzante) è una costante allora uso $Axe^(3x)$



$y'' - y = xe^x$

ha come soluzioni $lambda = +- 1$ , visto che e^x è soluzione dell'omogenea e il suo coefficiente è una variabile allora uso $(Ax + B)xe^x$


Giusto?

Lo posso estendere in modo generale?

[lordb]

Ci siamo quasi, qualche appunto:

- il fattore moltiplicativo di $e^(alpha x)$ è un polinomio e quindi devi chiederti di che grado è, es:

$4e^(3x)=>text{grado del polinomio moltiplicativo 0}=>text{cerco }psi(x)=x^(ma(3))*(A)*e^(3x)$
$4xe^(3x)=>text{grado del polinomio moltiplicativo 1}=>text{cerco }psi(x)=x^(ma(3))*(Ax+B)*e^(3x)$
$4x^3e^(3x)=>text{grado del polinomio moltiplicativo 3}=>text{cerco }psi(x)=x^(ma(3))*(Ax^3+Bx^2+Cx+D)*e^(3x)$

La generalizzazione la trovi nel post che ti ho linkato

[Mrs92]

quindi la differenza tra avere nel fattore forzante autovalori o meno incide solamente con la presenza o meno del ternime $x^(ma(alpha))$?

[lordb]

Sì.

p.s. dove l'hai sentito chiamare "fattore forzante"?

[Mrs92]

forse mi sono sbagliato con termine forzante

[lordb]

Bho non so, non l'ho mai sentito dire.

Comunque è tutto chiaro o hai qualche dubbio?

[Mrs92]

tu come lo chiami?

per ora metto in pratica ciò che mi hai detto, in caso mi farò vivo

[lordb]

Se hai: $y'' − 8y' + 15y = 2 e^(3x)$

$y'' − 8y' + 15y = 0$: equazione differenziale omogenea associata.

$lambda^2-8lambda+15$: polinomio caratteristico.

$lambda^2-8lambda+15=0$: equazione caratteristica.

$lambda=3, lambda=5$: radici del polinomio caratteristico=soluzioni dell'equazione caratteristica = autovalori.

${(phi_1(x)=e^(3x)),(phi_2(x)=e^(5x)):}$: sistema fondamentale di soluzioni per l'equazione differenziale omogenea associata.

$phi(x)=c_1*e^(3x) + c_2*e^(5x) |c_1,c_2 in RR$: integrale generale dell'equazione differenziale omogenea associata.

$y'' − 8y' + 15y = 2 e^(3x)$: equazione differenziale non omogenea.

$2 e^(3x)$: termine noto.

$psi(x)=-xe^(3x)$: soluzione particolare dell'equazione differenziale non omogenea.

$Phi(x)=c_1*e^(3x) + c_2*e^(5x)-xe^(3x) $: integrale generale dell'equazione differenziale.

[Mrs92]

wow!

grazie di tutto l'impegno, la pazienza e la disponibilità che hai dimostrato!


Grazie-

[lordb]

Di niente è stato un piacere.

Buono studio$^^$esame e se hai qualche dubbio scrivi pure

[Mrs92]

rieccomi.

$\{(y'' = e^(2x - 2y)),(y(0) = e),(y'(0) = 0):}$

me la sono sistemata e mi viene:

$e^(2y)y'' = e^(2x)$

risolvo l'omogenea associata e mi viene come autovalore $0$ con molteplicità $2$

ricavo la soluzione particolare con $ \psi = Ae^(2x)$ e mi viene:

$y(x)= e-1/4 -1/2x + 1/4e^(2x)$

sono quasi sicuro di aver fatto qualche errore...

[lordb]

Attenzione, questa è un'equazione differenziale del secondo ordine non lineare: ovvero è profondamente diversa da quelle fatte precedentemente!!


Il modo di procedere per questa è :

$z(x)=2(x-y(x))=>y(x)=-(z(x))/2+x=>y'(x)=-(z'(x))/2+1=>y''(x)=-(z''(x))/2$

Sostituendo:

$-(z''(x))/2=e^(z(x))$

ovvero: $z''(x)=-2*e^(z(x))$

Moltiplico a destra e a sinistra per $z'(x)$:

$z'(x)*z''(x)=-2e^(z(x))*z'(x)$

Integriamo a destra e a sinistra:

$int z'(x)*z''(x) dx = int -2e^(z(x))*z'(x) dx$

$(z'(x)^2)/2 =-2e^(z(x))+c_1$

Supponiamo $-2e^(z(x))+c_1 > 0$:

$z'(x)_(1,2)=+-sqrt(-4e^(z(x))+2c_1)$


$int1/(sqrt(-4e^(z(x)_(1,2))+2c_1))*z'(x)dx=+-int dx$

Faticando un po' si ottiene:

$(-sqrt(2)atanh(sqrt(c_1-2e^(z(x)_(1,2)))/sqrt(c_1)))/sqrt(c_1) = +- x + c_2$

$atanh(sqrt(c_1-2e^(z(x)_(1,2)))/sqrt(c_1))=+-(sqrt(c_1/2))*(x+c_2)$

$sqrt(c_1-2e^(z(x)_(1,2)))/sqrt(c_1)=tanh(+-(sqrt(c_1/2))*(x+c_2))$

$c_1-2e^(z(x)_(1,2))=c_1*tanh^2(+-(sqrt(c_1/2))*(x+c_2))$

$2e^(z(x)_(1,2))=c_1-c_1*tanh^2(+-(sqrt(c_1/2))*(x+c_2))$

$z(x)_(1,2)=log([c_1-c_1*tanh^2(+-(sqrt(c_1/2))*(x+c_2))]/2)$

Ri-sostituiamo $z(x)=2(x-y(x))$:

$y(x)_(1,2)=x-1/2log([c_1-c_1*tanh^2(+-(sqrt(c_1/2))*(x+c_2))]/2)$

Usando le condizioni di partenza si scopre che la soluzione giusta è :

$y_2(x)=x-1/2log([c_1-c_1*tanh^2(+(sqrt(c_1/2))*(x+c_2))]/2)$

Con $c_1=e^(-2 e) (2+2 e^(2 e))$ e $c_2=-e^e sqrt(2/(2+2 e^(2 e))) log(e^e+sqrt(1+e^(2 e)))$

Comunque mi sembra strano che il livello di difficoltà si sia impennato in tal modo...

[Mrs92]

ho scritto male......


$\{(y'' = e^(2x - 2y')),(y(0) = e),(y'(0) = 0):}$

immagino che cambi molto