Differenziali
Premessa importante: all'uni i differenziali ad Analisi 1 che sto frequentando ancora non li ho visti.
Data una funzione $f : RR to RR$ il differenziale è la quantità dipendente dall'incremento $h$ definita da $df(x)=f'(x_0)h$. Se $f(x)=x$, allora $df(x)=dx=h$, sicché, sostituendo si ha $df(x)=f'(x_0)dx$, da cui dividendo per $dx=h$ risulta $(df(x))/dx=f'(x_0)$. Quindi la derivata è il rapporto dei differenziali $df(x)$ e $dx$, cioè il differenziale della variabile dipendente e quello della variabile indipendete.
Questo è quanto si trova scritto su un libro di liceo ed è quanto ho dovuto sentire ieri mattina da uno studente affianco del quale sono stato seduto durante la lezione di fisica, nella quale il prof.re se ne è uscito con $v=dx/dt => vdt=dx => int_{t_1}^{t_2}vdt=int_{t_1}^{t_2}dx=x(t_2)-x(t_1)$.
Atteso che il differenziale è una applicazione lineare di $h$ per cui $df=f'(x_0)h$, la cosa che mi fa pensare è il giochino $f(x)=x=>df(x)=dx=h$ e sostituendo si ha $df=f'(x_0)dx$ da cui si può effettivamente dividere.
Da $df(x)=f'(x_0)h$ si può dividere per $h$ avendo $(df(x))/h=f'(x_0)$ che, usando il trucchetto prima esposto diventa $(df(x))/dx=f'(x_0)$.
Ora io mi domando: è rispauto che è sbagliato dire che la derivata è un rapporto di infinitesimi ed è altrettanto sbagliato dire che è un rapporto di differenziali, sicché mi viene da pensare che quando si usa il differenziale della funzione identica per fare comparire $dx$ in $df(x)$ si commette un abuso di notazione, se non addirittura un sacrilegio tirando in ballo la funzione identica che non centra niente con la funzione $f$. Forse sbaglio? Anche perché anche ammetendo che sia possibile sostituire $h$ con $dx$, poi in pratica si va a dire che la derivata è rapporto del differenziale di una funzione $f$ e del differenziale della funzione identica, il che è errore. Sono in errore?
Data una funzione $f : RR to RR$ il differenziale è la quantità dipendente dall'incremento $h$ definita da $df(x)=f'(x_0)h$. Se $f(x)=x$, allora $df(x)=dx=h$, sicché, sostituendo si ha $df(x)=f'(x_0)dx$, da cui dividendo per $dx=h$ risulta $(df(x))/dx=f'(x_0)$. Quindi la derivata è il rapporto dei differenziali $df(x)$ e $dx$, cioè il differenziale della variabile dipendente e quello della variabile indipendete.
Questo è quanto si trova scritto su un libro di liceo ed è quanto ho dovuto sentire ieri mattina da uno studente affianco del quale sono stato seduto durante la lezione di fisica, nella quale il prof.re se ne è uscito con $v=dx/dt => vdt=dx => int_{t_1}^{t_2}vdt=int_{t_1}^{t_2}dx=x(t_2)-x(t_1)$.
Atteso che il differenziale è una applicazione lineare di $h$ per cui $df=f'(x_0)h$, la cosa che mi fa pensare è il giochino $f(x)=x=>df(x)=dx=h$ e sostituendo si ha $df=f'(x_0)dx$ da cui si può effettivamente dividere.
Da $df(x)=f'(x_0)h$ si può dividere per $h$ avendo $(df(x))/h=f'(x_0)$ che, usando il trucchetto prima esposto diventa $(df(x))/dx=f'(x_0)$.
Ora io mi domando: è rispauto che è sbagliato dire che la derivata è un rapporto di infinitesimi ed è altrettanto sbagliato dire che è un rapporto di differenziali, sicché mi viene da pensare che quando si usa il differenziale della funzione identica per fare comparire $dx$ in $df(x)$ si commette un abuso di notazione, se non addirittura un sacrilegio tirando in ballo la funzione identica che non centra niente con la funzione $f$. Forse sbaglio? Anche perché anche ammetendo che sia possibile sostituire $h$ con $dx$, poi in pratica si va a dire che la derivata è rapporto del differenziale di una funzione $f$ e del differenziale della funzione identica, il che è errore. Sono in errore?
Risposte
"magliocurioso":
[quote="Fioravante Patrone"]No, ci mancherebbe. Sennò saresti un matematico nell'intimo, non un fisico
È vero. Però ultimamente ho l'impressione che la matematica richiesta per poter studiare la fisica vada oltre i consueti corsi di analisi. Forse è perché non mi sono molto preparato[/quote]
Su questo sono d'accordo con te. Tipicamente uno alla fine di fisica ha una fomazione di base di: analisi I e II, geometria e algebra lineare, ed un po' di analisi funzionale. Oltre a un po' di prob e stat.
A questo può essere necessario aggiungere (a seconda di quello che si fa) della algena astatta, o degli approfondimenti di analisi funzionale, o anche della probstat molto più avanzata...
Ma è normale, non è che lo studio finisce con la laurea.
"Sidereus":
[quote="WiZaRd"]Ho rivalutato la mia 4).
Se quella fosse una vera frazione allora il metodo urang-utang non sarebbe sbagliato.
Però, d'altro canto, se quella non è una vera frazione, allora non è nemmeno sensato scrivere $df(x_0)(h)=f'(x_0)d(x_0)(h)$...
WiZaRd, dai tempi di Cartan in poi il differenziale viene inteso come un funzionale lineare tra $RR^n$ e $RR$ (cioè un vettore dello spazio duale di $RR^n$). Quando si lavora con una sola variabile va interpretato come un funzionale lineare tra $RR$ e $RR$.
Secondo l'approccio alla Cartan, la scrittura
$df(x_0)(h)=f'(x_0)dx(h)$
significa che:
1) $df(x_0)$ è un operatore lineare che agisce sugli argomenti che sono alla sua destra, cioè i numeri reali (denotati con h) , e li trasforma in numeri reali. L'operatore lineare è definito così: $df(x_0)(h)=f'(x_0)h$
2) Esiste uno speciale operatore lineare da $RR$ in $RR$ denotato con $dx$. Esso agisce sui numeri reali collocati alla sua destra, e li trasforma in sé stessi: $dx(h)=h$ per definizione (in questo approccio $dx$ si chiama base duale di $RR$)
3) Dai punti 1) e 2) deduciamo che $df(x_0)(h)=f'(x_0)h=f'(x_0)dx(h)$ e pertanto i due operatori lineari $df(x_0)$ e
$f'(x_0)dx$ (senza argomento) portano allo stesso risultato se applicati ad h, e quindi $df(x_0)=f'(x_0)dx$
Questo approccio è tipico del linguaggio delle forme differenziali e si apprezza meglio lavorando in più variabili. Con questa concezione non è possibile fare nessuna operazione algebrica sui differenziali.
Invece nella matematica applicata il differenziale viene inteso in modo completamente diverso, e non conciliabile con l'approccio precedente.
Secondo quest'altra concezione, la scrittura
$df(x)=f'(x)h$
significa che:
a) $d$ è un operatore lineare che agisce sulle funzioni di classe $C^1$ collocate alla sua destra e le trasforma in elementi del campo infinitesimale $I_h$ (al quale ho accennato in un post precedente): $df(x)=f'(x)h$ per definizione
b) l'operatore lineare $d$ applicato alla funzione identità $f(x)=x$ produce $dx=1*h=h$
c) Combinando i punti a) e b) si ottiene che $df(x)=f'(x)h=f'(x)dx
In base a questo approccio alternativo, i differenziali sono particolari elementi del campo infinitesimale $I_h$, e quindi sono manipolabili algebricamente.
Mi auguro di non averti confuso ulteriormente le idee.
[/quote]Sono interessato a questo argomento e stavo leggendo la discussione sul concetto di differenziale fatta qualche tempo fa.
Quando affermi che: "$df(x_0)(h)=f'(x_0)h=f'(x_0)dx(h)$ e pertanto i due operatori lineari $df(x_0)$ e
$f'(x_0)dx$ (senza argomento) portano allo stesso risultato se applicati ad h, e quindi $df(x_0)=f'(x_0)dx$"
significa che per indicare in generale il differenziale della funzione in $x_0$ posso omettere l'argomento?, che va indicato solamente quando devo indicare il valore del differenziale ?
grazie
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