Differenziali

[R7R9R10K22]

Salve...sono nuovo del forum e sinceramente non so nemmeno se questa è la sezione giusta per pubblicare questa domanda, qualora non lo fosse ditemi dove devo pubblicarla. Ciò detto, la questione è la seguente: sono uno studente di quinto liceo e mi sono imbattuto in dei problemi coi differenziali delle funzioni.
Il mio libro di testo presenta il differenziale in questo modo:
considera una funzione y=f(x) derivabile in un intervallo I e un punto x di questo intervallo; al punto x da l'incremento deltax=h e calcola la derivata in x, facendo cioè il limite per deltax che tende a 0 del rapporto incrementale deltay/deltax. Fatto ciò, partendo dalla relazione
limite per delta x che tende a 0 di deltay/deltax = f'(x)
usando la scrittura fuori dal segno di limite, ottiene la relazione
deltay= f'(x)deltax + edeltax
dove e è una funzione di deltax ed è infinitesima per deltax che tende a 0.
Fatto ciò alla quantità f'(x)deltax dà il nome di differenziale della funzione y=f(x) e lo indica con dy.
E fino a qui lo capisco.
Poi, dice che, se si considera il caso particolare della funzione y=x, essendo f'(x)=1, si avrà dy=dx=deltax e ciò significa che il differenziale della variabile indipendente dx coincide col suo incremento deltax. Inoltre, fermo restando ciò, il differenziale della funzione y=f(x) è il prodotto della sua derivata per il differenziale della variabile indipendente x: dy=f'(x)dx.
Ora, quello che mi chiedo io è:
1) quando parla della funzione y=x, da dove viene fuori il fatto che dy=dx?
2) il fatto che dx=deltax vale solo per la funzione y=x o vale per tutte le funzioni?
3) il differenziale della funzione y=f(x) è dy=f'(x)deltax o è dy=f'(x)dx?
4) si può liberamente sostituire dx con deltax e vicerversa o lo si può fare solo con la funzione y=x?
5) che cos'è di preciso dx, dato che in tutto il discorso il libro non lo definisce?
Vi chiedo per cortesia di rispondere a tutte le 5 domande, perchè ho l'esame di stato e il mio proff non è che mi abbia fatto capire molto....qualora l'argomento fosse complicato, se lo si volesse spiegare in modo preciso e puntiglioso, non esitate a farlo, preferisco rendermi conto della difficoltà della situazione anzicchè rimanere con quei dubbi, chiaritemi uno per uno quei 5 dubbi che ho e che ho esposto nelle domande, per favore
grazie e perdonate la mia ignoranza

[Mega-X]

"R7R9R10K22":1) quando parla della funzione y=x, da dove viene fuori il fatto che dy=dx?
2) il fatto che dx=deltax vale solo per la funzione y=x o vale per tutte le funzioni?
3) il differenziale della funzione y=f(x) è dy=f'(x)deltax o è dy=f'(x)dx?
4) si può liberamente sostituire dx con deltax e vicerversa o lo si può fare solo con la funzione y=x?
5) che cos'è di preciso dx, dato che in tutto il discorso il libro non lo definisce?

andiamo per gradi (alla 1 ti rispondo dopo perché hai bisogno di sapere informazioni che sono propedeutiche alla domanda che hai fatto nel punto 1):

2) $dx = lim_(Deltaxto0)Deltax$ e non $dx = Deltax$

3) nono il differenziale della funzione $f(x)$ è $f'(x)*Deltax$ (almeno come trovo scritto sul libro)

4) Non si può sostituire $Deltax$ con $dx$ semmai $lim_(Deltaxto0)Deltax = dx$ (per NOTAZIONE)

5)$dx$ è un intervallo piccolissimo della x, ovvero come detto nel punto 2) $dx = lim_(Deltaxto0)Deltax$ ($Deltax$ indica un intervallo della $x$) , che viene scritto per NOTAZIONE $dx$, esempio:

$"Derivata"(f(x)) = lim_(Deltaxto0) (f(x+Deltax)-f(x))/((x+Deltax)-x = Deltax) = (f(x+dx)-f(x))/(dx) =(df(x))/(dx)$

1) Essendo la funzione $y = x$, tutto l'insieme dei reali in cui spazia la $x$ si riflette sull'asse $y$ e dunque ad una variazione della $x$ corrisponde una variazione uguale a quella della $y$ perché la funzione è proprio $y = x$

spero di essere stato chiaro, perché non sono tanto bravo a spiegare..