Differenziale funzione
Volevo sapere quale fosse la definizione di differenziale...perche guardando un po' su interneti trovo definito il differenziale df di una funzione a una variabile sia come:
$ df=f'(x)* Deltax $
sia come
$ df=f'(x)* dx $
cioè qual è la differenza tra le due = entrambi corrispondono alla definizione di differenziale?
perche io $ Delta x $ lo interpreto come una variazione(incremento)della variabile indipendente x finito,mentre $ dx $ lo interpreto come un incremento INFINITESIMO....
qual è allora delle due formule quella piu corretta?
so inoltre che il differenziale serve per approssimare localmente una funzione;
inoltre il differenziale $ d f $ coincide con $ Delta f $ per una variazione della variabile indipendente INFINITESIMA $ dx $ ....ovvero è possibile calcolare una variazione della funzione mediante il differenziale se tale variazione è causata da un incremento INFINITESIMO della variabile indipendente x ,giusto?
allora qual è la differenza tra dx,deltax,df e delta f? ecco la mia idea:
$ dx $ = variazione infinitesima della variabile indipendente
$ Delta x $ = variazione finita ( non tendente a zero) della variabile indipendente
$ Delta f $ = incremento della funzione a seguito di una variazione infinitesima o meno della variabile indipendente
$ df $ = differenziale di f,....tale differenziale corrisponde a delta f se la variabile indipendente incrementa in modo infinitesimo...
è giusto? mi chiarite un po' questi simboli? mi servono in particolare per il corso di fisica, e di chimica fisica
grazie !!
$ df=f'(x)* Deltax $
sia come
$ df=f'(x)* dx $
cioè qual è la differenza tra le due = entrambi corrispondono alla definizione di differenziale?
perche io $ Delta x $ lo interpreto come una variazione(incremento)della variabile indipendente x finito,mentre $ dx $ lo interpreto come un incremento INFINITESIMO....
qual è allora delle due formule quella piu corretta?
so inoltre che il differenziale serve per approssimare localmente una funzione;
inoltre il differenziale $ d f $ coincide con $ Delta f $ per una variazione della variabile indipendente INFINITESIMA $ dx $ ....ovvero è possibile calcolare una variazione della funzione mediante il differenziale se tale variazione è causata da un incremento INFINITESIMO della variabile indipendente x ,giusto?
allora qual è la differenza tra dx,deltax,df e delta f? ecco la mia idea:
$ dx $ = variazione infinitesima della variabile indipendente
$ Delta x $ = variazione finita ( non tendente a zero) della variabile indipendente
$ Delta f $ = incremento della funzione a seguito di una variazione infinitesima o meno della variabile indipendente
$ df $ = differenziale di f,....tale differenziale corrisponde a delta f se la variabile indipendente incrementa in modo infinitesimo...
è giusto? mi chiarite un po' questi simboli? mi servono in particolare per il corso di fisica, e di chimica fisica
grazie !!
Risposte
A livello empirico (purtroppo non matematico) quello che dici mi sembra sostanzialmente giusto. E' uno degli argomenti più discussi sul forum, prova a cercare un po'. Questa é una delle ultimi discussioni aperte su quest'argomento.
A che livello é la tua preparazione matematica? Analisi 1, 2? Geometria? Queste informazioni possono essere utili per aiutarti
A che livello é la tua preparazione matematica? Analisi 1, 2? Geometria? Queste informazioni possono essere utili per aiutarti
mah sono al secondo anno della laurea triennale in chimica....
il primo anno ho fatto matematica 1,che comprendeva funzioni a una e due variabili,vettori,numeri complessi,integrali doppi, ed equazioni differenziali....nel secondo semestre poi ho fatto matematica2 che comprendeva algebra lineare + analisi numerica.
Il fatto che facendo chimica non è che ci siamo soffermati piu di tanto sugli aspetti puramente teorici ma siamo andati piu sul concreto.
Ho deciso di rivedermi alcuni concetti chiave della matematica perche devo dare fisica 2(elettromagnetismo) e chimica fisica2(meccanica quantistica) e non mi va di studiarmi formule a memoria...
vorrei percio capire il significato pratico dei simboli $ df,Delta f,dx,Delta x $ applicati principalmente alla fisica...
perche ad esempio nel corso di chimica fisica 1 ho trovato espressioni del tipo (tanto per fare un esempio): $ dw=-pdV $
io tale espressione l'ho sempre interpretata come: una variazione infinitesima di lavoro è data dalla variazione infinitesima di volume moltiplicata per la pressione....se poi io voglio sapere una variazione finita(dunque di un qualche processo del mondo reale) dovrei integrare l'espressione.
Però riguardandomi il differenziale in matematica vedo che la formula del differenziale è $ df=f'*dx $ e in particolare quindi il simbolo df rapprresenta il differenziale della funzione...ora dw è un differenziale o semplicemente lo devo interpretare come una variazione infinitesima?
ad esempio in fisica2 ,invece utilizza il simbolo di differenziale df con l'annessa formula matematica per esprimere una variazione di una funzione a piu variabili....ma ttale variazione è da interpretarsi infinitesima o finita?
perche molte volte $ Delta f=df $
e piu in generale come li interpreto quei simboli in fisica?
grazie:)
il primo anno ho fatto matematica 1,che comprendeva funzioni a una e due variabili,vettori,numeri complessi,integrali doppi, ed equazioni differenziali....nel secondo semestre poi ho fatto matematica2 che comprendeva algebra lineare + analisi numerica.
Il fatto che facendo chimica non è che ci siamo soffermati piu di tanto sugli aspetti puramente teorici ma siamo andati piu sul concreto.
Ho deciso di rivedermi alcuni concetti chiave della matematica perche devo dare fisica 2(elettromagnetismo) e chimica fisica2(meccanica quantistica) e non mi va di studiarmi formule a memoria...
vorrei percio capire il significato pratico dei simboli $ df,Delta f,dx,Delta x $ applicati principalmente alla fisica...
perche ad esempio nel corso di chimica fisica 1 ho trovato espressioni del tipo (tanto per fare un esempio): $ dw=-pdV $
io tale espressione l'ho sempre interpretata come: una variazione infinitesima di lavoro è data dalla variazione infinitesima di volume moltiplicata per la pressione....se poi io voglio sapere una variazione finita(dunque di un qualche processo del mondo reale) dovrei integrare l'espressione.
Però riguardandomi il differenziale in matematica vedo che la formula del differenziale è $ df=f'*dx $ e in particolare quindi il simbolo df rapprresenta il differenziale della funzione...ora dw è un differenziale o semplicemente lo devo interpretare come una variazione infinitesima?
ad esempio in fisica2 ,invece utilizza il simbolo di differenziale df con l'annessa formula matematica per esprimere una variazione di una funzione a piu variabili....ma ttale variazione è da interpretarsi infinitesima o finita?
perche molte volte $ Delta f=df $
e piu in generale come li interpreto quei simboli in fisica?
grazie:)
In fisica spesso le variazioni possono venir trattate come "finite" o "infinitesime" a seconda delle necessità. In pratica ci si prende molta più libertà nel passaggio al limite, cosa che un analista dovrebbe fare sempre con le dovute ipotesi da verificare.
Per capire bene il concetto di differenziale, e la sua esatta collocazione nel contesto matematico, è necessaria una piccola infarinatura di Analisi Funzionale (con annessi gli spazi duali). Richiamerei per quei piccoli grandi chiarimenti il piccolo pdf di 4 pagine "chi è dx?" di Fioravante Patrone, utente del forum.
Per capire bene il concetto di differenziale, e la sua esatta collocazione nel contesto matematico, è necessaria una piccola infarinatura di Analisi Funzionale (con annessi gli spazi duali). Richiamerei per quei piccoli grandi chiarimenti il piccolo pdf di 4 pagine "chi è dx?" di Fioravante Patrone, utente del forum.
darò un'occhiata a quel pdf che mi consigli...comunque volevo giusto un piccolo chiarimento riguardo a dei rimandi matematici che il prof di fisica ha ricordato nei suoi appunti di matematica,ecco:
" Consideriamo campi scalari $ phi (x,y,z) $ (es: la temperatura $ T=T(x,y,z) $ , l'altezza sul livello del mare in una cartina $ h=h(x,y,) $ o piu precisamente $ h=h(vartheta ,varphi ) $ ) e campi vettoriali $ vec(V)(x,y,z)=[ Vx(x,y,z), Vy(x,y,z),Vz(x,y,z)] $ .
a) derivate parziali:
per caratterizzare la variazione di un campo al variare del punto,che dipende dalla direzione,servono:
$ (partial^1phi )/(partial x^1) -= lim_(Delta x -> 0) [ phi (x+Delta x,y,z)-phi (x,y,z)]/(Deltax) $
e similmente per $ (partial^1phi )/(partial y^1) $ e $ (partial^1phi )/(partial z^1) $
Di quanto varia il campo se mi muovo in una direzione generica? Considerando per brevità il caso d=2, si ha:
$ Delta phi -= phi (x+Delta x,y+Delta y)-phi (x,y) = $
= $ phi (x+Delta x,y+Delta y)-phi (x,y+Delta y)+phi (x,y+Delta y) -phi (x,y) $
per $ Delta x,Delta yrarr 0 $ si ha:
$ Delta phi =(partial^1 phi )/(partial x^1)| (y+Deltay =cost) * Delta x +(partial^1 phi )/(partial y^1) | (y=cost) * Delta y $
NB:(l'espressione tra parentesi accanto alle due derivate parziali dicono solo quale variabile considerano costante, non sapevo come metterle in basso accanto alla barra verticale) .
Da qui,dicono ancora gli appunti si ha:
d $ dphi=(partial^1 phi )/(partial x^1) * dx + (partial^1 phi)/(partial y^1)* dy $ "
Ecco ,quindi in pratica se ho capito lui approssima una variazione della funzione tramite il differenziale stesso della funzione,a patto che la variazione della funzione sia "causata",nel caso di due variabili,da incrementi infinitesimi rispettivamente di x e di y. è giusta l'idea che mi sono fatto?
Inoltre questo discorso e queste formule sono riferite a una funzione vettoriale o scalare?
grazie
" Consideriamo campi scalari $ phi (x,y,z) $ (es: la temperatura $ T=T(x,y,z) $ , l'altezza sul livello del mare in una cartina $ h=h(x,y,) $ o piu precisamente $ h=h(vartheta ,varphi ) $ ) e campi vettoriali $ vec(V)(x,y,z)=[ Vx(x,y,z), Vy(x,y,z),Vz(x,y,z)] $ .
a) derivate parziali:
per caratterizzare la variazione di un campo al variare del punto,che dipende dalla direzione,servono:
$ (partial^1phi )/(partial x^1) -= lim_(Delta x -> 0) [ phi (x+Delta x,y,z)-phi (x,y,z)]/(Deltax) $
e similmente per $ (partial^1phi )/(partial y^1) $ e $ (partial^1phi )/(partial z^1) $
Di quanto varia il campo se mi muovo in una direzione generica? Considerando per brevità il caso d=2, si ha:
$ Delta phi -= phi (x+Delta x,y+Delta y)-phi (x,y) = $
= $ phi (x+Delta x,y+Delta y)-phi (x,y+Delta y)+phi (x,y+Delta y) -phi (x,y) $
per $ Delta x,Delta yrarr 0 $ si ha:
$ Delta phi =(partial^1 phi )/(partial x^1)| (y+Deltay =cost) * Delta x +(partial^1 phi )/(partial y^1) | (y=cost) * Delta y $
NB:(l'espressione tra parentesi accanto alle due derivate parziali dicono solo quale variabile considerano costante, non sapevo come metterle in basso accanto alla barra verticale) .
Da qui,dicono ancora gli appunti si ha:
d $ dphi=(partial^1 phi )/(partial x^1) * dx + (partial^1 phi)/(partial y^1)* dy $ "
Ecco ,quindi in pratica se ho capito lui approssima una variazione della funzione tramite il differenziale stesso della funzione,a patto che la variazione della funzione sia "causata",nel caso di due variabili,da incrementi infinitesimi rispettivamente di x e di y. è giusta l'idea che mi sono fatto?
Inoltre questo discorso e queste formule sono riferite a una funzione vettoriale o scalare?
grazie
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