Differenziale di una funzione tra due varietà

[qwertyuio1]

Ciao! Sto studiando per una esame di analisi su varietà e vi è venuta una domanda:

se ho una funzione f:M-->N con M,N varietà di classe C^k , come faccio a definire il differenziale di f?

Quello che ho pensato è che:
- se M, N sono sottovarietà di R^n non sono aperti e quindi non posso usare la definizione solita di differenziale perché non ha senso derivare in tutte le direzioni
- in generale (M, N non necessariamente immerse) potrei pensare di definire $df=d(G°f°F^(-1))$ con F carta di M e G carta di N, così mi riconduco a differenziare una funzione tra due aperti di R^n. Ma temo proprio che questa definizione dipenda dalla scelta delle carte e quindi non sia valida.

Potete aiutarmi? Grazie!

[gugo82]

Mi pare che la definizione in coordinate sia buona.
Che tale definizione non dipenda dalla scelta delle carte si prova giocando un po' con i cambiamenti di coordinate (se non ricordo male).

[qwertyuio1]

Scusa ma non riesco a capire come. Prendo $F_1$ e $G_1$ carte diverse da F e G, allora:
$d(G_1°f°F_1^(-1)) = d(G_1°G^(-1))°d(G°f°F^(-1))°d(F°F_1^(-1))$
Ora cosa posso fare? Dovrei dire che $d(G_1°G^(-1))=id$ e $d(F°F_1^(-1))=id$?