Differenziale della funzione composta
Salve ragazzi sto studiando per l'esame orale di analisi 2 e nel programma del mio prof c'è una dimostrazione che lui ha assegnato come esercizio e che potrebbe chiedere all'esame ma che io non ho capito molto bene.
L'esercizio sarebbe il seguente: scrivere il differenziale della funzione composta $f(\varphi(t))$, con $f$ funzione di $n$ variabili e $\varphi(t)$ curva in $RR^n$. Posto qui il mio approccio al problema specificando man mano i miei dubbi.
Allora: dai dati dell'esercizio so che $\varphi(t)$ è una curva, pertanto una qualsiasi curva è governata da questa relazione $\varphi:IsubeRR->RR^n$ quindi la posso scrivere come:
$\varphi(t)=(\varphi_1(t),......,\varphi_n(t))$.
Siccome io sto considerando la funzione composta $F(s)=f(\varphi(s))=f(\varphi_1(t),....,\varphi_n(t))$, allora il differenziale di questa funzione si calcola con la formula del differenziale di una funzione composta che sarebbe il prodotto scalare tra le matrici Jacobiane delle funzioni, cioè: $J_F(s)=J_f(x)J_\varphi(s)$ dunque è corretto scrivere il differenziale in questo modo:
$sum_(i = 1)^( n)(delx_i*f(\varphi(t))\varphi_i'(t))$
poichè: $\varphi'(t)=(\varphi_1',.......,\varphi_n')$ ???
P.S. un'altra cosa di cui non sono sicuro: come è definita f? Cioè $f:RR^N->...?$
Ringrazio in anticipo per la risposta
L'esercizio sarebbe il seguente: scrivere il differenziale della funzione composta $f(\varphi(t))$, con $f$ funzione di $n$ variabili e $\varphi(t)$ curva in $RR^n$. Posto qui il mio approccio al problema specificando man mano i miei dubbi.
Allora: dai dati dell'esercizio so che $\varphi(t)$ è una curva, pertanto una qualsiasi curva è governata da questa relazione $\varphi:IsubeRR->RR^n$ quindi la posso scrivere come:
$\varphi(t)=(\varphi_1(t),......,\varphi_n(t))$.
Siccome io sto considerando la funzione composta $F(s)=f(\varphi(s))=f(\varphi_1(t),....,\varphi_n(t))$, allora il differenziale di questa funzione si calcola con la formula del differenziale di una funzione composta che sarebbe il prodotto scalare tra le matrici Jacobiane delle funzioni, cioè: $J_F(s)=J_f(x)J_\varphi(s)$ dunque è corretto scrivere il differenziale in questo modo:
$sum_(i = 1)^( n)(delx_i*f(\varphi(t))\varphi_i'(t))$
poichè: $\varphi'(t)=(\varphi_1',.......,\varphi_n')$ ???
P.S. un'altra cosa di cui non sono sicuro: come è definita f? Cioè $f:RR^N->...?$
Ringrazio in anticipo per la risposta
Risposte
Sì, è corretto (ovviamente pero che la formula "finale" fosse $\sum_{i=1}^n {\partial f}/{\partial x_i}(\varphi(t))\cdot\varphi_i'(t)$). Per la seconda domanda: mi auguro che sia $f: RR^n\rightarrow RR$. Nel caso fosse $f: RR^n\rightarrow RR^m$ allora avresti una funzione vettoriale $f=(f_1,\ldots, f_m)$ in cui $f_j=f_j(x_1,\ldots,x_m)$ sono funzioni $f_j: RR^n\rightarrow RR^m$ e quindi il risultato sarebbe sempre lo stesso ma calcolato per ogni singola componente.
E una cosa: le Jacobiane, in questo caso (cioè quello che hai dimostrato) sono vettori.
E una cosa: le Jacobiane, in questo caso (cioè quello che hai dimostrato) sono vettori.
Scusa ciampax ma ho fatto confusione con la notazione si intendevo quello grazie per avermelo fatto notare !
Tuttavia non ho capito la tua risposta in merito alla seconda domanda, perchè in verità questa è una cosa che dovrei dedurre io dato che sul programma non è specificato. So solo che il dominio di $f$ è $RR^n$ poi non so che valori assume. Ho capito il ragionamento da te esposto ma nel caso fosse $f:RR^n->RR^m$ basterebbe aggiungere l'indice $j$ con: $j=1,....,m$ ma il dubbio rimane, quando andrò all'esame come risponderò al prof?
Si lo so che le Jacobiane sono vettori, infatti ho applicato il prodotto righe per colonne!
grazie per aver risposto
Provvedo subito alla correzione
!Tuttavia non ho capito la tua risposta in merito alla seconda domanda, perchè in verità questa è una cosa che dovrei dedurre io dato che sul programma non è specificato. So solo che il dominio di $f$ è $RR^n$ poi non so che valori assume. Ho capito il ragionamento da te esposto ma nel caso fosse $f:RR^n->RR^m$ basterebbe aggiungere l'indice $j$ con: $j=1,....,m$ ma il dubbio rimane, quando andrò all'esame come risponderò al prof?
Si lo so che le Jacobiane sono vettori, infatti ho applicato il prodotto righe per colonne!
grazie per aver risposto
Provvedo subito alla correzione
Se $f: RR^n\rightarrow RR^m$ allora $f(\varphi(t))=(f_1(\varphi(t)),\ldots,f_m(\varphi(t)))$ e quindi
$d/{dt}(f(\varphi(t)))=(d/{dt}(f_1(\varphi(t))),\ldots,d/{dt}(f_m(\varphi(t))))$
dove $d/{dt}(f_j(\varphi(t)))=\sum_{i=1}^n{\partial f_j}/{\partial x_i}(\varphi(t))\cdot \varphi'_i(t)$
Un minimo di elasticità e di immaginazione, però, sarebbero gradite.
E un'altra cosa: la $f$ è una funzione assegnata, quindi non devi dedurre dove va a finire, lo decidi tu! Per cui, visto e considerato che raramente in un corso di ingegneria (perché studi ingegneria, vero?) ho visto studiare funzioni a valori vettoriali, suppongo che la tua $f: RR^n\Rightarrow RR$.
$d/{dt}(f(\varphi(t)))=(d/{dt}(f_1(\varphi(t))),\ldots,d/{dt}(f_m(\varphi(t))))$
dove $d/{dt}(f_j(\varphi(t)))=\sum_{i=1}^n{\partial f_j}/{\partial x_i}(\varphi(t))\cdot \varphi'_i(t)$
Un minimo di elasticità e di immaginazione, però, sarebbero gradite.
E un'altra cosa: la $f$ è una funzione assegnata, quindi non devi dedurre dove va a finire, lo decidi tu! Per cui, visto e considerato che raramente in un corso di ingegneria (perché studi ingegneria, vero?) ho visto studiare funzioni a valori vettoriali, suppongo che la tua $f: RR^n\Rightarrow RR$.
ah quindi è scalare! ok grazie ancora ciampax allora vale la prima formula che ho scritto! Si si studio ad ingegneria
"paolotesla91":
ah quindi è scalare! ok grazie ancora ciampax allora vale la prima formula che ho scritto! Si si studio ad ingegneria
Ancora? Non è che sia per forza o l'una o l'altra. Ma hai capito che è assegnata? Lo scegli tu come è fatta!
si si ho capito dicevo solo che probabilmente la dimostrazione della regola si basa sul primo caso perchè in sostanza abbiamo trattato funzioni scalari, non vettoriali! Grazie ho capito
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