Differenziabilità [TEORIA]
Avrei una domanda che mi turba da ore -.-
Allo scritto di analisi 2 avevo un esercizio :
Stabilire se una funzione è differenziabile in un punto P utilizzando un versore non nullo v=(A,B)
Non sono riuscita a svolgerlo e sicuramente all'orale me lo chiederà, come aiuto mi disse che c'è un teorema che tramite il calcolo della derivata direzionale nella direzione v=(A,B) capisco se la funzione è differenziabile o meno....non è il teorema del differenziale totale e neanche tramite il limite del rapporto incrementale, ma allora che teorema è?
Allo scritto di analisi 2 avevo un esercizio :
Stabilire se una funzione è differenziabile in un punto P utilizzando un versore non nullo v=(A,B)
Non sono riuscita a svolgerlo e sicuramente all'orale me lo chiederà, come aiuto mi disse che c'è un teorema che tramite il calcolo della derivata direzionale nella direzione v=(A,B) capisco se la funzione è differenziabile o meno....non è il teorema del differenziale totale e neanche tramite il limite del rapporto incrementale, ma allora che teorema è?
Risposte
Puoi verificare se vale la formula dell'approssimante lineare.
Aggiungo solo un commento esplicativo: penso che seneca si riferisca al fatto che, se $f$ è differenziabile in $x$, allora l'applicazione $v\mapsto \frac{\partial f}{\partial v}(x)$ è lineare.
Di conseguenza, se questa applicazione non è lineare, ...
Se riporti l'esercizio forse si possono dare informazioni più dettagliate.
Di conseguenza, se questa applicazione non è lineare, ...
Se riporti l'esercizio forse si possono dare informazioni più dettagliate.
No, veramente intendevo
\[ f(x_0 + v) = f(x_0) + \underbrace{df(x_0)[v]}_{\nabla f(x_0) \cdot v} + o(||v||) \;\;,\;\; v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]
ma forse ciò che hai scritto tu ha più senso...
\[ f(x_0 + v) = f(x_0) + \underbrace{df(x_0)[v]}_{\nabla f(x_0) \cdot v} + o(||v||) \;\;,\;\; v \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \]
ma forse ciò che hai scritto tu ha più senso...
No scusate non capisco, l'esercizio poi tornava che lo era....quindi io come capisco che è lineare?
Se una funzione è differenziabile soddisfa la formula che ti ho scritto nel post precedente, e viceversa.
Quindi f è differenziabile se e solo se
$AA A,B in RR => lim_(h,k)->(0,0)((f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-Ah-Bk)/sqrt(h^2+k^2))=0$
quindi devo applicare questa formula??
lei come suggerimento mi dava di calcolare le derivate direzionali rispetto v=(A,B)
$AA A,B in RR => lim_(h,k)->(0,0)((f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)-Ah-Bk)/sqrt(h^2+k^2))=0$
quindi devo applicare questa formula??
lei come suggerimento mi dava di calcolare le derivate direzionali rispetto v=(A,B)
L'esercizio è $f(x,y) = 1+ root(3)(y(x+1)^2)$ nel punto P = (1,0)
suggerimento: si calcoli le derivate direzionali rispetto a un versore v=(A,B) non nullo
suggerimento: si calcoli le derivate direzionali rispetto a un versore v=(A,B) non nullo
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