Differenziabilità secondo Frechét
Salve a tutti!!!
Metto alla fine un link del libro di Marino Badiale. Mi riferisco all'esempio 1.3.20 a pagina 17.
Nel dimostare la differenziabilità secondo Frechét del funzionale fa vedere che la parte dell'integrale di F(u) è differenziabile secondo Gateaux e che il differenziale di Gateaux è continuo dallo spazio H^1 al suo duale.
A pagina 20 dice che:
1) u_n converge a u in H^1, allora esiste una sottosuccessione u_{n_k} tale che J_G(u_{k_n}) converge a J_G(u)
2) allora la successione intera J_G(u_n) converge a J_G(u).
Fino al punto 1) è tutto chiaro. La mia domanda è questa: come faccio a capire che tutta la successione converge? A priori non so neanche che è di Cauchy.
Ringrazio chi riuscirà a risolvere questo mio dubbio.
Metto alla fine un link del libro di Marino Badiale. Mi riferisco all'esempio 1.3.20 a pagina 17.
Nel dimostare la differenziabilità secondo Frechét del funzionale fa vedere che la parte dell'integrale di F(u) è differenziabile secondo Gateaux e che il differenziale di Gateaux è continuo dallo spazio H^1 al suo duale.
A pagina 20 dice che:
1) u_n converge a u in H^1, allora esiste una sottosuccessione u_{n_k} tale che J_G(u_{k_n}) converge a J_G(u)
2) allora la successione intera J_G(u_n) converge a J_G(u).
Fino al punto 1) è tutto chiaro. La mia domanda è questa: come faccio a capire che tutta la successione converge? A priori non so neanche che è di Cauchy.
Ringrazio chi riuscirà a risolvere questo mio dubbio.
Risposte
Aggiungo un'osservazione.
Ho avuto un dubbio simile nel dimostrare la continuità dell'operatore di Nemitsky dove devo dimostrare la convergenza dell'intera successione sapendo la convergenza di una sottosuccessione.
Non so se c'è qualche legame tra le due dimostrazioni.
Ho avuto un dubbio simile nel dimostrare la continuità dell'operatore di Nemitsky dove devo dimostrare la convergenza dell'intera successione sapendo la convergenza di una sottosuccessione.
Non so se c'è qualche legame tra le due dimostrazioni.
Il punto 2) si può dimostrare così: se $J'_G$ non fosse continua per successioni, potrei trovare un punto $u\in H^1$ e una successione $u_k\to u$ tale che $\{J'_G(u_k)\}_k$ non converge a $J'_G(u)$; quindi esiste un intorno $V$ di $J'_G(u)$ in $(H^1)'$ e una sottosuccessione $\{u_{k_j}\}_j$ la cui immagine $\{J'_G(u_{k_j})\}_j$ sta tutta nel complementare di $V$. Ma allora da $u_{k_j}\to u$ non posso estrarre una (sotto)sottosuccessione le cui immagini tramite $J'_G$ convergano a $J'_G(u)$, assurdo perché il punto 1) mi garantisce di poterlo fare.
Salve coffee 
Mi sembra che la tua dimostrazione non faccia una piega.
Non avevo pensato a considerare la sottosottosuccessione. Questo tipo di ragionamento dovrebbe andare bene anche per la continuità dell'operatore di Nemitski che probabilmente conosci.
Se guardi negli appunti di analisi convessa di Acquistapace introduce l'operatore di Nemitski (superposizione) e per dimostrare la continuità utilizza anche la convergenza in misura.
Però mi sembra che il tuo metodo sia correttissimo.
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/anacon.pdf
Comunque grazie mille!!! Adesso provo a scriverla
Mi sembra che la tua dimostrazione non faccia una piega.
Non avevo pensato a considerare la sottosottosuccessione. Questo tipo di ragionamento dovrebbe andare bene anche per la continuità dell'operatore di Nemitski che probabilmente conosci.
Se guardi negli appunti di analisi convessa di Acquistapace introduce l'operatore di Nemitski (superposizione) e per dimostrare la continuità utilizza anche la convergenza in misura.
Però mi sembra che il tuo metodo sia correttissimo.
http://www.dm.unipi.it/~acquistp/anacon.pdf
Comunque grazie mille!!! Adesso provo a scriverla
[xdom="Raptorista"]
Questo non si fa
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"CenzoMascia90":
Metto alla fine un link del libro di Marino Badiale.
Questo non si fa
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