Differenziabilita di una funzione
salve a tutti.
ho una funzione di due variabili f(x,y)=$sqrt(x^2+y^2)$ e l'esercizio mi chiede il suo dominio,se è derivabile continua e differenziabile.
allora il dominio è tutto R^2 e nel suo dominio è continua quindi è continua ovunque.per vedere la derivabilità devo vedere se esistono le derivate parziali.se fisso una y qualsiasi vedo che per x diverso da 0 è derivabile, se x=0 e y diverso da 0 è derivabile e anche quando sono tutte e due nulle è derivabile.quindi la funzione è derivabile ovunque.ora essendo derivabile e continua su tutto R^2 dovrebbe essere anche differenziabile ovunque(inoltre il nostro prof aveva detto che tutte le funzioni non definite a tratti sono differenziabili) e invece c'è scritto che questa funzione è differenziabile su tutto R^2 tranne in (0,0).come mai non è differenziabile su tutto R^?
ho una funzione di due variabili f(x,y)=$sqrt(x^2+y^2)$ e l'esercizio mi chiede il suo dominio,se è derivabile continua e differenziabile.
allora il dominio è tutto R^2 e nel suo dominio è continua quindi è continua ovunque.per vedere la derivabilità devo vedere se esistono le derivate parziali.se fisso una y qualsiasi vedo che per x diverso da 0 è derivabile, se x=0 e y diverso da 0 è derivabile e anche quando sono tutte e due nulle è derivabile.quindi la funzione è derivabile ovunque.ora essendo derivabile e continua su tutto R^2 dovrebbe essere anche differenziabile ovunque(inoltre il nostro prof aveva detto che tutte le funzioni non definite a tratti sono differenziabili) e invece c'è scritto che questa funzione è differenziabile su tutto R^2 tranne in (0,0).come mai non è differenziabile su tutto R^?
Risposte
Uhm, nel punto $(0,0)$ credo la funzione non sia derivabile perchè date le due derivate parziali:
${(f'_x(x,y)=x/sqrt(x^2+y^2)),(f'_y(x,y)=y/sqrt(x^2+y^2)):}$
Ad esempio la $f'_x$ nel punto $(0,0)$ da un'indeterminazione del tipo $0/0$
Quindi provo a restringere la $f'_x$ alla retta $y=mx$ con $m$ reale e mi ritrovo con:
$x/sqrt(x^2+(mx)^2) = x/sqrt(x^2+m^2*x^2) = x/(x*sqrt(1+m^2)) = 1/(1+m^2)$
E visto che il limite dovrebbe variare al variare di $m$, non può esser unico e quindi non può esistere...
Almeno mi pare sia così XD Spero di non dire scemenze xD
${(f'_x(x,y)=x/sqrt(x^2+y^2)),(f'_y(x,y)=y/sqrt(x^2+y^2)):}$
Ad esempio la $f'_x$ nel punto $(0,0)$ da un'indeterminazione del tipo $0/0$
Quindi provo a restringere la $f'_x$ alla retta $y=mx$ con $m$ reale e mi ritrovo con:
$x/sqrt(x^2+(mx)^2) = x/sqrt(x^2+m^2*x^2) = x/(x*sqrt(1+m^2)) = 1/(1+m^2)$
E visto che il limite dovrebbe variare al variare di $m$, non può esser unico e quindi non può esistere...
Almeno mi pare sia così XD Spero di non dire scemenze xD
Esatto quello che dice Mach.
Infatti c'è un teorema molto noto che dice:
Sia $ f:A->R$, con $A$ aperto di $R^2$, e supponiamo che le derivate parziali di f esistono e siano continue in tutto A. Allora f è differenziabile in tutto A.
In parole povere se f appartiene alla classe $C^1(A)$ allora f è differenziabile in $A$
Attenzione, l'implicazione inversa non vale.
Infatti c'è un teorema molto noto che dice:
Sia $ f:A->R$, con $A$ aperto di $R^2$, e supponiamo che le derivate parziali di f esistono e siano continue in tutto A. Allora f è differenziabile in tutto A.
In parole povere se f appartiene alla classe $C^1(A)$ allora f è differenziabile in $A$
Attenzione, l'implicazione inversa non vale.
A voler essere proprio puntigliosi, con il metodo di Mach si dimostra che la funzione non è di classe $C^1$, ovvero non ha le derivate continue ma non è ancora escluso che sia derivabile. E' la stessa storia del classico esempio in una variabile $f(x)={(x^2sin(1/x), x!=0), (0, x=0):}$ che è derivabile in 0 ma non ha la derivata continua.
Io espliciterei i rapporti incrementali in 0 e poi osserverei che non ammettono limite.
Io espliciterei i rapporti incrementali in 0 e poi osserverei che non ammettono limite.
"dissonance":.
ovvero non ha le derivate continue ma non è ancora escluso che sia derivabile
Ok, pensavo che bastasse trovare che la derivata non esistesse in quel punto per poter dire che non è derivabile in quel punto.
Si parla di differenziabilità?
fatemi capire per favore
fatemi capire per favore
"Mach":
$x/sqrt(x^2+(mx)^2) = x/sqrt(x^2+m^2*x^2) = x/(x*sqrt(1+m^2)) = 1/sqrt(1+m^2)$
Qui più che altro ho sbagliato a non scrivere il limite, sennò stavo cercando di calcolare limite della derivata in $(0,0)$
$lim_(x->0) x/sqrt(x^2+(mx)^2) = 1/sqrt(1+m^2)$
@Mach: Appunto, il limite della derivata, non del rapporto incrementale. Io suggerisco di calcolare i limiti dei rapporti incrementali in $(0,0)$, per intenderci
$lim_{h\to0}sqrt(h^2+0^2)/h$ (rispetto ad x);
$lim_{h\to0}sqrt(0^2+h^2)/h$ (rispetto ad y);
che evidentemente non esistono. Quindi la funzione non è derivabile parzialmente in (0, 0).
Tu invece fai una operazione diversa. Tu hai calcolato le derivate parziali per $(x,y)!=(0,0)$ e ne stai studiando il limite in $(0, 0)$ (se ho capito bene). Questo dimostra la non continuità delle derivate. Ma non esclude la loro esistenza.
$lim_{h\to0}sqrt(h^2+0^2)/h$ (rispetto ad x);
$lim_{h\to0}sqrt(0^2+h^2)/h$ (rispetto ad y);
che evidentemente non esistono. Quindi la funzione non è derivabile parzialmente in (0, 0).
Tu invece fai una operazione diversa. Tu hai calcolato le derivate parziali per $(x,y)!=(0,0)$ e ne stai studiando il limite in $(0, 0)$ (se ho capito bene). Questo dimostra la non continuità delle derivate. Ma non esclude la loro esistenza.
Sì, hai capito benissimo 
Grazie per la spiegazione
Grazie per la spiegazione
ok ho capito.
se invece avessi una funzione definita a tratti
$f(x,y)={((xy)/(x^2+y^2),if(x,y)!=0),(0,if(x,y)=0)}$
allora la funzione è definita su tutto R^2. se (x,y) diverso da 0 è continua,derivabile e quindi differenziabile.ora devo analizzare se la funzione è continua e derivabile anche in (0,0).facendo il limite del rapporto incrementale della funzione per (x,y)->0,0 vedo che la funzione è derivabile in (0,0) e vale 0.quindi la funzione è derivabile su tutto R^2.guardando invece la continuità noto che avvicinandomi a (0,0) in due modi diversi ottengo limiti diversi(se considero la restrizione lungo y=0 il limite è 0 se considero la restrizione y=x ottengo 1/2).quindi la funzione non è continua in (0,0) e qui non è nemmeno differenziabile.
in questo caso trovando che non è continua non è differenziabile.però esiste anche un teorema che dice che se f è derivabile in un intorno di(x,y) co derivate parziali continue nel punto x,y allora f è differenziabile.in questo caso però come faccio ad applicare il teorema?cioè come faccio a mostrare che in un intorno di (0,0) le sue derivate non sono continue e quindi non è differenziabile?
se invece avessi una funzione definita a tratti
$f(x,y)={((xy)/(x^2+y^2),if(x,y)!=0),(0,if(x,y)=0)}$
allora la funzione è definita su tutto R^2. se (x,y) diverso da 0 è continua,derivabile e quindi differenziabile.ora devo analizzare se la funzione è continua e derivabile anche in (0,0).facendo il limite del rapporto incrementale della funzione per (x,y)->0,0 vedo che la funzione è derivabile in (0,0) e vale 0.quindi la funzione è derivabile su tutto R^2.guardando invece la continuità noto che avvicinandomi a (0,0) in due modi diversi ottengo limiti diversi(se considero la restrizione lungo y=0 il limite è 0 se considero la restrizione y=x ottengo 1/2).quindi la funzione non è continua in (0,0) e qui non è nemmeno differenziabile.
in questo caso trovando che non è continua non è differenziabile.però esiste anche un teorema che dice che se f è derivabile in un intorno di(x,y) co derivate parziali continue nel punto x,y allora f è differenziabile.in questo caso però come faccio ad applicare il teorema?cioè come faccio a mostrare che in un intorno di (0,0) le sue derivate non sono continue e quindi non è differenziabile?
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