Differenziabilità di una funzione
Salve io avrei dei problemi a studiare la differenziabilità di questa funzione. Il testo è il seguente:
stabilite se la funzione f(x,y) è differenziabile nel punto (0,0). La funzione è la seguente
Non riesco ad applicare il teorema dato la forma complessa (almeno per me) della funzione e quindi a stabilire se f è continua nel punto se esistono le derivate parziali nel punto (0,0) e quindi poi applicare il limite
$\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$
stabilite se la funzione f(x,y) è differenziabile nel punto (0,0). La funzione è la seguente
$ { ((sin(x^4y^3)-1)/(x^2+y^2) se (x,y)!=(0,0) ),( 0 se (x,y) = (0,0)):} $
Non riesco ad applicare il teorema dato la forma complessa (almeno per me) della funzione e quindi a stabilire se f è continua nel punto se esistono le derivate parziali nel punto (0,0) e quindi poi applicare il limite
$\lim_{(h,k) \rightarrow (0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-f_x(0,0)h-f_y(0,0)k}{\sqrt{h^2+k^2}}=0$
Risposte
Per prima cosa devi mostrare appunto che questa funzione è continua, altrimenti non può essere differenziabile. Visto il denominatore può essere conveniente passare in coordinate polari, ma non è l'unica strada.
Di che teorema stai parlando?
Di che teorema stai parlando?
scusa parlavo della condizione necessaria e sufficiente per la differenziabilità di una funzione in un punto cioè:
una funzione f(x,y) definita su un sottoinsieme aperto A contenuto in R2 , è differenziabile nel punto se e solo se posso verificare i punti di sopra. Quindi mi suggerisci di applicare le coordinate polari ? Il problema del differenziale totale mi può aiutare secondo te?
una funzione f(x,y) definita su un sottoinsieme aperto A contenuto in R2 , è differenziabile nel punto se e solo se posso verificare i punti di sopra. Quindi mi suggerisci di applicare le coordinate polari ? Il problema del differenziale totale mi può aiutare secondo te?
_Una funzione continua $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0) $ di $A \subset RR^2$ se esistono le derivate parziali nel punto e quel limite che te hai scritto fa $0$.
Prima verifica la continuità. Se questa è continua calcola le derivate parziali e se esistono applica il limite, che per quando brutto non è impossibile. Forse si può fare anche senza coordinate polari maggiorando l'espressione con il seno e vedendo che l'espressione tende a $0$, pertanto è continua.
Ora, le derivate parziali: usa le definizione (quella col limite).
Prima verifica la continuità. Se questa è continua calcola le derivate parziali e se esistono applica il limite, che per quando brutto non è impossibile. Forse si può fare anche senza coordinate polari maggiorando l'espressione con il seno e vedendo che l'espressione tende a $0$, pertanto è continua.
Ora, le derivate parziali: usa le definizione (quella col limite).
"feddy":
Per prima cosa devi mostrare appunto che questa funzione è continua, altrimenti non può essere differenziabile. Visto il denominatore può essere conveniente passare in coordinate polari, ma non è l'unica strada.
Di che teorema stai parlando?
Scusami ho usato le coordinate polari come tu mi hai consigliato e quindi:
x=rcos(t)
y=rsin(t)
sostituendo però sono arrivato a questo punto per cui non so più come andare avanti , ottengo:
$ (sin(r^7cos^4(t)sin^3(t))-1)/r^2 $
Ti avevo suggerito le coordinate polari per la presenza del termine $x?2^2+y^2$ sotto, ma si può evitare.
$|(sen(x)|<1 \forall x \in RR$ è la proprietà che ho usato per maggiorare quell'espressione del tuo problema che quindi fa $0$.
Appurato che è continua, devi trovare le derivate parziali.
$|(sen(x)|<1 \forall x \in RR$ è la proprietà che ho usato per maggiorare quell'espressione del tuo problema che quindi fa $0$.
Appurato che è continua, devi trovare le derivate parziali.
"feddy":
Ti avevo suggerito le coordinate polari per la presenza del termine $x?2^2+y^2$ sotto, ma si può evitare.
$|(sen(x)|<1 \forall x \in RR$ è la proprietà che ho usato per maggiorare quell'espressione del tuo problema che quindi fa $0$.
Appurato che è continua, devi trovare le derivate parziali.
Potresti spiegarmi nei passaggi l'operazione di maggiorazione che svolgi? Cioè posto che $ |sin(x)|<1 $ , come arrivi a dire che è continua?
Io ho provato a calcolare la derivata parziale per x con la seguente formula del limite
$f_x(0,0)=\lim_{(h,0) \rightarrow (0,0)} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=$
e mi esce
$=\lim_{(h,0) \rightarrow (0,0)} \frac{(-1/h^2)-0}{h}= ∞ $
Per cui non esistono derivate parziali, e posso concludere che non è differenziabile. Corretto?
Esatto.
Ho maggiorato il seno e ho visto che l'espressione faceva $0$, che era proprio quello che volevo verificare.
Ho maggiorato il seno e ho visto che l'espressione faceva $0$, che era proprio quello che volevo verificare.
"feddy":
Esatto.
Ho maggiorato il seno e ho visto che l'espressione faceva $0$, che era proprio quello che volevo verificare.
non è che potresti scrivermi i passaggi della maggiorazione? Io non riesco proprio a capire come si maggiorano le funzioni e viceversa
"asdasd40":
[quote="feddy"]Esatto.
Ho maggiorato il seno e ho visto che l'espressione faceva $0$, che era proprio quello che volevo verificare.
non è che potresti scrivermi i passaggi della maggiorazione? Io non riesco proprio a capire come si maggiorano le funzioni e viceversa[/quote]
ti provo a scrivere quello che ho capito io:
posto che $ |sin(x)| < 1 $ allora sostituisco 1 nella funzione al posto di sin(x^4y^3) e svolgo i calcoli e poi applico il limite. Corretto?
$0 \leq |sen(x^3y^4)- 1| \leq 1 - 1$
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