Differenziabilità della somma
Siano $f,g:RR^n->RR^m$ funzioni differenziabili in $x_0\inRR^n$. Allora $f+g$ è differenziabile in $x_0$ e $d(f+g)(x_0)=df(x_0)+dg(x_0)$.
Per dimostrarlo procedo così.
Sia $T=df(x_0)+dg(x_0)$.
Allora $lim_(x->x_0)((f+g)(x)-(f+g)(x_0)-T(x-x_0))/|x-x_0|=$
$=lim_(x->x_0)((f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(df(x_0)+dg(x_0))(x-x_0))/|x-x_0|=$
$=lim_(x->x_0)(f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)-df(x_0)(x-x_0)-dg(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|=$
$=lim_(x->x_0)((f(x)-f(x_0)-df(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|+(g(x)-g(x_0)-dg(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|)=0$
in quanto $f$ è differenziabile in $x_0$ con differenziale $df(x_0)$ e $g$ è differenziabile in $x_0$ con differenziale $dg(x_0)$.
Avete qualche idea migliore? Avevo pensato ad utilizzare lo sviluppo
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)+F_(x_0)(x)$
con $F_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$ e
$g(x)=g(x_0)+dg(x_0)(x-x_0)+G_(x_0)(x)$
con $G_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$
ma non è saltato fuori niente.
Per dimostrarlo procedo così.
Sia $T=df(x_0)+dg(x_0)$.
Allora $lim_(x->x_0)((f+g)(x)-(f+g)(x_0)-T(x-x_0))/|x-x_0|=$
$=lim_(x->x_0)((f+g)(x)-(f+g)(x_0)-(df(x_0)+dg(x_0))(x-x_0))/|x-x_0|=$
$=lim_(x->x_0)(f(x)+g(x)-f(x_0)-g(x_0)-df(x_0)(x-x_0)-dg(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|=$
$=lim_(x->x_0)((f(x)-f(x_0)-df(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|+(g(x)-g(x_0)-dg(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|)=0$
in quanto $f$ è differenziabile in $x_0$ con differenziale $df(x_0)$ e $g$ è differenziabile in $x_0$ con differenziale $dg(x_0)$.
Avete qualche idea migliore? Avevo pensato ad utilizzare lo sviluppo
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)+F_(x_0)(x)$
con $F_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$ e
$g(x)=g(x_0)+dg(x_0)(x-x_0)+G_(x_0)(x)$
con $G_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$
ma non è saltato fuori niente.
Risposte
Va bene il metodo usato: con l'applicazione diretta dei differenziali viene una rottura di scatole.
Ok, grazie 
Se ora volessi provare che, sempre nelle ipotesi di differenziabilita' in $x_0$ delle funzioni $f$ e $g$, la funzione $f*g$ e' differenziabile e si ha $d(f*g)(x_0)=f(x_0)dg(x_0)*g(x_0)df(x_0)$ potrei invece usare gli sviluppi:
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)+F_(x_0)(x)$ con $F_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$ e
$g(x)=g(x_0)+dg(x_0)(x-x_0)+G_(x_0)(x)$ con $G_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$.
Moltiplicando gli sviluppi ottengo
$(fg)(x)=(fg)(x_0)+f(x_0)dg(x_0)(x-x_0)+f(x_0)G_(x_0)(x)+$
$+df(x_0)(x-x_0)g(x_0)+(df(x_0)dg(x_0))(x-x_0)+df(x_0)(x-x_0)G_(x_0)(x)+$
$+F_(x_0)(x)g(x_0)+F_(x_0)(x)dg(x_0)(x-x_0)+F_(x_0)(x)G_(x_0)(x)$
ma poi come ricavo l'espressione del differenziale di $fg$?
Se ora volessi provare che, sempre nelle ipotesi di differenziabilita' in $x_0$ delle funzioni $f$ e $g$, la funzione $f*g$ e' differenziabile e si ha $d(f*g)(x_0)=f(x_0)dg(x_0)*g(x_0)df(x_0)$ potrei invece usare gli sviluppi:
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)(x-x_0)+F_(x_0)(x)$ con $F_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$ e
$g(x)=g(x_0)+dg(x_0)(x-x_0)+G_(x_0)(x)$ con $G_(x_0)(x)=o(|x-x_0|)$ per $x->x_0$.
Moltiplicando gli sviluppi ottengo
$(fg)(x)=(fg)(x_0)+f(x_0)dg(x_0)(x-x_0)+f(x_0)G_(x_0)(x)+$
$+df(x_0)(x-x_0)g(x_0)+(df(x_0)dg(x_0))(x-x_0)+df(x_0)(x-x_0)G_(x_0)(x)+$
$+F_(x_0)(x)g(x_0)+F_(x_0)(x)dg(x_0)(x-x_0)+F_(x_0)(x)G_(x_0)(x)$
ma poi come ricavo l'espressione del differenziale di $fg$?
Raccogli tra loro i termini con $(x-x_0)$ e riscrivi tutti gli altri come $H_{x_0}(x)$: ti accorgi che quest'ultima funzione è infinitesima (combinazione lineare di infinitesimi) mentre il coefficiente di $(x-x_0)$ è...
$(fg)(x)=(fg)(x_0)+$
$+f(x_0)dg(x_0)(x-x_0)+df(x_0)(x-x_0)g(x_0)+(df(x_0)dg(x_0))(x-x_0)$
$+f(x_0)G_(x_0)(x)+F_(x_0)G_(x_0)(x)+(F_(x_0)G_(x_0))(x)+df(x_0)(x-x_0)G_(x_0)(x)+F_(x_0)(x)dg(x_0)(x-x_0)$
Sono d'accordo sul fatto che l'ultimo blocco è infinitesimo, ma come raccolgo i termini con $(x-x_0)$ in questo caso?
$+f(x_0)dg(x_0)(x-x_0)+df(x_0)(x-x_0)g(x_0)+(df(x_0)dg(x_0))(x-x_0)$
$+f(x_0)G_(x_0)(x)+F_(x_0)G_(x_0)(x)+(F_(x_0)G_(x_0))(x)+df(x_0)(x-x_0)G_(x_0)(x)+F_(x_0)(x)dg(x_0)(x-x_0)$
Sono d'accordo sul fatto che l'ultimo blocco è infinitesimo, ma come raccolgo i termini con $(x-x_0)$ in questo caso?
Ti viene fuori
$(fg)(x_0)=(fg)(x_0)+[f(x_0) dg(x_0)+df(x_0) g(x_0)](x-x_0)+(df(x_0) dg(x_0))\cdot(x-x_0)^2+H(x_0)$
e se ci pensi un po' su puoi concludere (attento che avevi dimenticato un quadrato).
$(fg)(x_0)=(fg)(x_0)+[f(x_0) dg(x_0)+df(x_0) g(x_0)](x-x_0)+(df(x_0) dg(x_0))\cdot(x-x_0)^2+H(x_0)$
e se ci pensi un po' su puoi concludere (attento che avevi dimenticato un quadrato).
"ciampax":
Ti viene fuori
$(fg)(x)=(fg)(x_0)+[f(x_0) dg(x_0)+df(x_0) g(x_0)](x-x_0)+(df(x_0) dg(x_0))\cdot(x-x_0)^2+H(x_0)$
e se ci pensi un po' su puoi concludere (attento che avevi dimenticato un quadrato).
Ma se raccolgo così, ad esempio, $f(x_0) dg(x_0)$ è il prodotto tra un vettore ed una matrice, dunque mi da una matrice giusto?
Il termine $(df(x_0) dg(x_0))\cdot(x-x_0)^2$ è $o(|x-x_o|)$ dunque lo posso accorpare alla funzione $H_(x_0)(x)$?
E che significato ha $(x-x_0)^2$ visto che $(x-x_0)$ è un vettore?
Allora, chiariamoci: se stai parlando di funzioni in più variabili (io pensavo facessi riferimento a funzioni di una variabile), devi considerare che i prodotti a destra possono essere di due tipi: scalare per vettore e prodotto scalare tra vettori. Ora $f,g:\RR^n\to RR$ per cui $f(x_0)$ è uno scalare, mentre il differenziale è un vettore. Se indichiamo con $\cdot$ il prodotto scalare per vettore e con $\times$ il prodotto scalare tra vettori quella cosa, scritta bene, diventa
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)\times(x-x_0)+F_{x_0}(x)$ e $g(x)=g(x_0)+dg(x_0)\times(x-x_0)+G_{x_0}(x)$
dove le funzioni infinitesime $F,G$ sono scalari, e quindi
$(fg)(x)=(fg)(x_0)+[f dg+g df](x_0)\times(x-x_0)+(df(x_0)\times(x-x_0))\cdot(dg(x_0)\times(x-x_0))+H_{x_0}(x)$
Come vedi tutti i termini risultano scalari e in particolare il termine che ti dicevo è di ordine quadrato rispetto a $(x-x_0)$ e quindi puoi accorparlo con $H$.
Se invece pensi a funzioni a valori vettoriali, basta che nel ragionamento precedente modifichi il termine scalare con vettore, vettore con matrice, prodotto scalare-vettore con prodotto matrice vettore e prodotto scalare tra vettori con prodotto tra matrici.
$f(x)=f(x_0)+df(x_0)\times(x-x_0)+F_{x_0}(x)$ e $g(x)=g(x_0)+dg(x_0)\times(x-x_0)+G_{x_0}(x)$
dove le funzioni infinitesime $F,G$ sono scalari, e quindi
$(fg)(x)=(fg)(x_0)+[f dg+g df](x_0)\times(x-x_0)+(df(x_0)\times(x-x_0))\cdot(dg(x_0)\times(x-x_0))+H_{x_0}(x)$
Come vedi tutti i termini risultano scalari e in particolare il termine che ti dicevo è di ordine quadrato rispetto a $(x-x_0)$ e quindi puoi accorparlo con $H$.
Se invece pensi a funzioni a valori vettoriali, basta che nel ragionamento precedente modifichi il termine scalare con vettore, vettore con matrice, prodotto scalare-vettore con prodotto matrice vettore e prodotto scalare tra vettori con prodotto tra matrici.
Consideriamo pure funzioni $RR^n->RR$.
Quello che non mi torna è lo scalare $(df(x_0)xx(x-x_0))*(dg(x_0)xx(x-x_0))$, perchè questo è "o-piccolo" di $|x-x_0|$?
Quello che non mi torna è lo scalare $(df(x_0)xx(x-x_0))*(dg(x_0)xx(x-x_0))$, perchè questo è "o-piccolo" di $|x-x_0|$?
Perché ci sono due $x-x_0$? 
Lo sai cosa significa che $f=o(g)$?
Lo sai cosa significa che $f=o(g)$?
Significa che $lim_(x->x_0)(f(x)/f(x))=0$.
Il punto è...come mostro che quel prodotto di prodotti scalari rispetta questa proprietà?
Il punto è...come mostro che quel prodotto di prodotti scalari rispetta questa proprietà?
Prova a scriverlo e vedi un po' che viene fuori... Ti assicuro che è una cavolata.
P.S.: ti faccio presente che se vale per le funzioni vale anche per i loro moduli e viceversa...
Ti assicuro che è una cavolata.P.S.: ti faccio presente che se vale per le funzioni vale anche per i loro moduli e viceversa...
$lim_(x->x_0)(df(x_0)(x-x_0)*dg(x_0)(x-x_0))/|x-x_0|=?$
Se anche applico il modulo al numeratore non mi viene in mente come posso ricavare che questo limite va a zero...
Se anche applico il modulo al numeratore non mi viene in mente come posso ricavare che questo limite va a zero...
Se $v,w$ sono due vettori, $|v\times w|=$? Eddai, che stai girando intorno alla somma di 1 e 1!
Risposte così banali non me ne vengono in mente 
L'unica che forse mi viene in aiuto è considerare la disuguaglianza di Caychy-Schwarz per concludere che
$|df(x_0)(x-x_0)*dg(x_0)(x-x_0)|<=|df(x_0)|*|(x-x_0)|*|dg(x_0)|*|(x-x_0)|=$
$=|(x-x_0)^2|*|df(x_0)dg(x_0)|$ e dunque ho in un certo senso portato fuori il termine $(x-x_0)^2$ e posso facilmente calcolare il limite per mostrare che si tratta di un o-piccolo di $(x-x_0)$. Cosa dici?
L'unica che forse mi viene in aiuto è considerare la disuguaglianza di Caychy-Schwarz per concludere che
$|df(x_0)(x-x_0)*dg(x_0)(x-x_0)|<=|df(x_0)|*|(x-x_0)|*|dg(x_0)|*|(x-x_0)|=$
$=|(x-x_0)^2|*|df(x_0)dg(x_0)|$ e dunque ho in un certo senso portato fuori il termine $(x-x_0)^2$ e posso facilmente calcolare il limite per mostrare che si tratta di un o-piccolo di $(x-x_0)$. Cosa dici?
Oddio dark...
$|v\times w|=|v|\cdot|w|\cdot|\cos\theta|$ dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori.
per cui
$|df\times(x-x_0)|=|df|\cdot|x-x_0|\cdot a$
e quindi come vedi il prodotto di quelle due cose viene $o(|x-x_0|^2)$. Non ti perdere in un bicchiere d'acqua.
P.S.: anche quella che hai scritto va bene, comunque.
$|v\times w|=|v|\cdot|w|\cdot|\cos\theta|$ dove $\theta$ è l'angolo tra i due vettori.
per cui
$|df\times(x-x_0)|=|df|\cdot|x-x_0|\cdot a$
e quindi come vedi il prodotto di quelle due cose viene $o(|x-x_0|^2)$. Non ti perdere in un bicchiere d'acqua.
P.S.: anche quella che hai scritto va bene, comunque.
D'accordo ma poi dovresti comunque concludere che $|dfxx(x-x_0)*dgxx(x-x_0)|=|df|*|dg|*|(x-x_0)^2|*|ab|$ con |a|,|b|<=1 e quindi |ab|<1 da cui ottieni alla fine la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz no?
Allora mi hai convinto
Allora mi hai convinto
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