Differenziabilità
[tex]x\log(x^2+y^2+1)[/tex]
E' differenziabile nel punto (0,0)?
La funzione dovrebbe valere 0 lì, e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0, calcolando il limite per vedere la differenziabilità ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ottengo questo limite:
[tex]\frac{k^2}{k\sqrt{2}}[/tex] che dovrebbe fare 0.
Ma questo basta per dire che è differenziabile?
COme faccio altrimenti a vedere che non tutte le restrizione hanno limite uguale a 0, se così è?
E' differenziabile nel punto (0,0)?
La funzione dovrebbe valere 0 lì, e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0, calcolando il limite per vedere la differenziabilità ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ottengo questo limite:
[tex]\frac{k^2}{k\sqrt{2}}[/tex] che dovrebbe fare 0.
Ma questo basta per dire che è differenziabile?
COme faccio altrimenti a vedere che non tutte le restrizione hanno limite uguale a 0, se così è?
Risposte
No,per concludere sulla differenziabilità nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]; devi verificare che esistono le due derivate parziali prime e che quel limite (quello a cui credo tu stia alludendo) per [tex]$(x,y) \to (0,0)$[/tex] valga [tex]$0$[/tex].
cioè mi spiego meglio:
Consideriamo una funzione [tex]$f:A \subseteq R^2 \to R[/tex], e un punto [tex]$P_0 = (x_0 , y_0)\in A[/tex] dove [tex]$A[/tex] è un insieme aperto.
Allora:
[tex]$f[/tex] è differenziabile in [tex]$P_0[/tex] se:
1) [tex]$f[/tex] è derivabile in [tex]$P_0[/tex] (cioè esistono le derivate parziali in [tex]$P_0[/tex])
2) [tex]$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0 , y_0) - f_{x} (x_0 , y_0) h - f_{y}(x_0 , y_0) k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0[/tex]
La 2) può essere "perfezionata" facendo un cambio di variabili e cioè imponendo:
[tex]$x_0+h = x[/tex]
[tex]$y_0+k=y[/tex]
Diventa:
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x, y) - f(x_0 , y_0) - f_{x} (x_0 , y_0) (x-x_0) - f_{y}(x_0 , y_0) (y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} = 0[/tex]
Usa quest'ultima forma, è immediato!!
cioè mi spiego meglio:
Consideriamo una funzione [tex]$f:A \subseteq R^2 \to R[/tex], e un punto [tex]$P_0 = (x_0 , y_0)\in A[/tex] dove [tex]$A[/tex] è un insieme aperto.
Allora:
[tex]$f[/tex] è differenziabile in [tex]$P_0[/tex] se:
1) [tex]$f[/tex] è derivabile in [tex]$P_0[/tex] (cioè esistono le derivate parziali in [tex]$P_0[/tex])
2) [tex]$\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0 , y_0) - f_{x} (x_0 , y_0) h - f_{y}(x_0 , y_0) k}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0[/tex]
La 2) può essere "perfezionata" facendo un cambio di variabili e cioè imponendo:
[tex]$x_0+h = x[/tex]
[tex]$y_0+k=y[/tex]
Diventa:
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x, y) - f(x_0 , y_0) - f_{x} (x_0 , y_0) (x-x_0) - f_{y}(x_0 , y_0) (y-y_0)}{\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}} = 0[/tex]
Usa quest'ultima forma, è immediato!!
"Darèios89":
[tex]xlog(x^2+y^2+1)[/tex]
E' differenziabile nel punto (0,0)?
La funzione dovrebbe valere 0 lì, e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0, calcolando il limite per vedere la differenziabilità ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ottengo questo limite:
[tex]\frac{k^2}{k\sqrt{2}}[/tex] che dovrebbe fare 0.
Ma questo basta per dire che è differenziabile?
COme faccio altrimenti a vedere che non tutte le restrizione hanno limite uguale a 0, se così è?
Il tuo metodo non è sufficiente a dire che valga zero. Se però provi con le coordinate polari...
In realtà non le abbiamo fatte le coordinate polari....
Infatti, mi riaggancio all'osservazione di faximusy, facendoti osservare che il fatto che quel limite esista e valga [tex]0[/tex] lungo quella unica direzione è insufficiente.
Puoi anche verificare che esiste su tantissime altre direzioni, ma non potrai mai farlo per tutte le infinite direzioni, quindi non potrai mai dire per certo che quel limite esiste e vale [tex]0[/tex],sempre!!! Magari esiste e vale [tex]0[/tex] sulle direzioni che hai considerato, ma non puoi escludere che esista una particolare direzione, che non hai considerato, in cui non esiste (le direzioni possibili sono infinite
).
Puoi anche verificare che esiste su tantissime altre direzioni, ma non potrai mai farlo per tutte le infinite direzioni, quindi non potrai mai dire per certo che quel limite esiste e vale [tex]0[/tex],sempre!!! Magari esiste e vale [tex]0[/tex] sulle direzioni che hai considerato, ma non puoi escludere che esista una particolare direzione, che non hai considerato, in cui non esiste (le direzioni possibili sono infinite
).
Con queste funzioni a due variabili non so che pesci prendere.........non capisco allora come usirne, non abbiamo mai parlato di coordinate polari.....al massimo i limiti o cose di questo tipo le risolviamo con confronti...ma non saprei cosa e come confrontare....per studiare quel limite e concludere sulla differenziabilità.
"Darèios89":
[tex]xlog(x^2+y^2+1)[/tex]
E' differenziabile nel punto (0,0)?
La funzione dovrebbe valere 0 lì, e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0, calcolando il limite per vedere la differenziabilità ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ottengo questo limite:
[tex]\frac{k^2}{k\sqrt{2}}[/tex] che dovrebbe fare 0.
Ma questo basta per dire che è differenziabile?
COme faccio altrimenti a vedere che non tutte le restrizione hanno limite uguale a 0, se così è?
mi rendo conto che è seccante, ma proviamo senza le coordinate polari (spero tu abbia fatto i limiti in due variabili almeno).
dobbiamo verificare se:
[tex]\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac {x \log(x^2+y^2+1)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0[/tex]
un teorema ti garantisce che il limite di una funzione è L per x->x0, se e solo se vale L anche lungo ogni restrizione del dominio per cui x0 è d'accumulazione (per funzioni vettoriali bisogna fare qualche precsazione in più, ma non è il tuo caso adesso)
allora guardiamo il limite lungo la restrizione y = mx
[tex]\lim_{(x,mx) \to (0,0)} \frac {x \log(x^2+m^2x^2+1)}{\sqrt{x^2+m^2x^2}} = 0[/tex]
sembrano esserci i presupposti per cui il limite tenda a 0, allora ci preoccupiamo di trovare una maggiorazione di |f-L| tendente a 0 per (x,y) -> (0,0):
[tex]|\frac {x \log(x^2+y^2+1)}{\sqrt{x^2+y^2}}| \leq |\frac {x \log(x^2+y^2+1)}{\sqrt{x^2}}| \to 0[/tex]
e quindi hai dimostrato la differenziabilità in (0,0)
Ma scusa, perchè hai dovuto prima considerare quella restrizione?
Non potevamo direttamente fare quel confronto che tu hai fatto alla fine?
Perchè ci è servita la restrizione a y=mx e con quel confronto possiamo dire che il limite fa 0?
Cioè prima consideriamo quella restrizione e verifichiamo che il limite è 0, poi non dovremmo considerare qualche funzione minore della nostra restrizione?
Cioè tra la nostra restrizione e quell'ultimo confronto che legame c'è?
Chi mi dice che un' altra restrizione non ha limite diverso?
Perchè con il solo confronto non posso dire nulla e invece se faccio la restrizione a y=mx possiamo concludere in quel modo?
Non potevamo direttamente fare quel confronto che tu hai fatto alla fine?
Perchè ci è servita la restrizione a y=mx e con quel confronto possiamo dire che il limite fa 0?
Cioè prima consideriamo quella restrizione e verifichiamo che il limite è 0, poi non dovremmo considerare qualche funzione minore della nostra restrizione?
Cioè tra la nostra restrizione e quell'ultimo confronto che legame c'è?
Chi mi dice che un' altra restrizione non ha limite diverso?
Perchè con il solo confronto non posso dire nulla e invece se faccio la restrizione a y=mx possiamo concludere in quel modo?
attento: tu non puoi considerare le infinite restrizioni, ma solo alcune. quello che è certo, è che se il limite esiste allora deve avere lo stesso ed unico valore che ha lungo ogni restrizione che consideri. (ovvio che se il valore cambia a seconda della restrizione, allora non è ammesso il limite). ti ho scritto infatti "sembrano esserci i presupposti", e poi sono andato a verificare che è effettivamente così col confronto. capito?
Ma quindi, io avrei potuto evitare di fare quella restrizione?
Cioè fare direttamente il confronto, il limite tende a 0 quindi la funzione è continua in (0,0)
Esistono entrambe le derivate parziali in (0,0), allora posso dire che la funzione è differenziabile.
Giusto?
Cioè fare direttamente il confronto, il limite tende a 0 quindi la funzione è continua in (0,0)
Esistono entrambe le derivate parziali in (0,0), allora posso dire che la funzione è differenziabile.
Giusto?
La differenziabilità richiede la continuità, e non è dimostrabile se la funzione è continua e derivabile; non basta.
per contro, se hai che le derivate parziali esistono e sono continue in (0,0), cioè f è di classe C1, f è differenziabile in (0,0) (teorema del differenziale totale)
per rispondere all'altra domanda: sì, avresti potuto evitare di fare il limite lungo la restrizione dando per scontato che L = 0. la restrizione è solo un modo per farti risparmiare fatica: se il limite lungo essa fosse stato diverso da 0, non ci sarebbe stato bisogno di cercare un confronto con qualche altra funzione e avresti risparmiato tempo..
per rispondere all'altra domanda: sì, avresti potuto evitare di fare il limite lungo la restrizione dando per scontato che L = 0. la restrizione è solo un modo per farti risparmiare fatica: se il limite lungo essa fosse stato diverso da 0, non ci sarebbe stato bisogno di cercare un confronto con qualche altra funzione e avresti risparmiato tempo..
Ecco, quindi la funzione è continua in quel punto, esistono le derivate parziali continue in esso, dunque è derivanile.
Come farei senza di voi?
Grazie.
Come farei senza di voi?
Grazie.
scusa, non è del tutto corretto quello che ho detto prima: il teorema del differenziale totale dice semplicemente che se le derivate parziali in un intorno di x0 esistono e sono continue, allora f è differenziabile in x0, quindi ti dà una condizione sufficiente per la differenziabilità. ovvio che se f è dli classe C1, le ipotesi del t del differenziale totale sono soddisfatte, e dunque ricavi il corollario. spero di non averti fatto troppa confusione.
"Darèios89":
Ma quindi, io avrei potuto evitare di fare quella restrizione?
Cioè fare direttamente il confronto, il limite tende a 0 quindi la funzione è continua in (0,0)
Esistono entrambe le derivate parziali in (0,0), allora posso dire che la funzione è differenziabile.
Giusto?
Ripartiamo da questo
La funzione è continua in $(0,0)$? Si.
E' derivabile in $(0,0)$? si.
Quindi puoi calcolare quel limite (cioè scoprire se il numeratore è di ordine superiore al denominatore).
A quanto ho capito, vuoi calare sul tavolo la carta del teorema del differenziale totale. Ok. Devi quindi controllare se le derivate parziali prime sono continue, e se la funzione è definita in un aperto.
Il dominio della funzione è un aperto; le derivate parziali sono continue? Si
Quindi anche così puoi concludere la differenziabilità
E se fosse stata la funzione:
$f(x,y)=x\sqrt(x^2+y^2-1)$
potevi applicare il teorema del differenziale totale? Domanda di teoria: se si, perchè? Se no, perchè?
Emh....quel dominio...sarebbe dato da:
[tex]x^2+y^2>=1[/tex]
Emh....che non capisco bene come si traduca.......forse è verificata per tutti i punti diversi dall'origine?
P.S il teorema del differenziale dice che le derivate devono essere continue in un punto, e come lo verifico?
Io pensavo che se una funzione è continua in un punto e dotata di derivate parziali esse sono certamente continue...spero sia così..
[tex]x^2+y^2>=1[/tex]
Emh....che non capisco bene come si traduca.......forse è verificata per tutti i punti diversi dall'origine?
P.S il teorema del differenziale dice che le derivate devono essere continue in un punto, e come lo verifico?
Io pensavo che se una funzione è continua in un punto e dotata di derivate parziali esse sono certamente continue...spero sia così..
"Darèios89":
Emh....quel dominio...sarebbe dato da:
[tex]x^2+y^2>=1[/tex]
Emh....che non capisco bene come si traduca.......forse è verificata per tutti i punti diversi dall'origine?
P.S il teorema del differenziale dice che le derivate devono essere continue in un punto, e come lo verifico?
Io pensavo che se una funzione è continua in un punto e dotata di derivate parziali esse sono certamente continue...spero sia così..
No, no, altrimenti tutte le funzioni continue dotate di derivate prime sarebbero differenziabili
Devi verificare che le derivate prime siano continue (calcolando il limite) e che il dominio sia aperto. In questo caso proposto il dominio è chiuso, quindi non potresti applicare questo teorema.
Scusami, allora il dominio di quest'ultima è chiuso?
Ma qual'è me lo potreseti dire? Io pensavo tutto r quadro tranne 0.
Per verificare la continuità delle derivate parziali quindi calcolo il limite della derivata parziale nel punto, e se il limite coincide con il valore che la derivata assume esattamente nel punto è continua...
Ma qual'è me lo potreseti dire? Io pensavo tutto r quadro tranne 0.
Per verificare la continuità delle derivate parziali quindi calcolo il limite della derivata parziale nel punto, e se il limite coincide con il valore che la derivata assume esattamente nel punto è continua...
"Darèios89":
Scusami, allora il dominio di quest'ultima è chiuso?
Ma qual'è me lo potreseti dire? Io pensavo tutto r quadro tranne 0.
Per verificare la continuità delle derivate parziali quindi calcolo il limite della derivata parziale nel punto, e se il limite coincide con il valore che la derivata assume esattamente nel punto è continua...
Esatto, in quel modo verifichi la continuità.
Di questa funzione che ti ho proposto, il dominio lo hai scritto prima correttamente.
ricordo che le derivate possono avere discontinuità solo di seconda specie. ma non è vero che se presentano discontinuità in un punto, allora per forza non esistono.
vedi il caso di:
[tex]f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}[/tex]
la funzione è differenziabile in 0, ma la derivata è discontinua
vedi il caso di:
[tex]f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \frac 1x & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}[/tex]
la funzione è differenziabile in 0, ma la derivata è discontinua
Ma....scusate la mia ignoranza.....
Tutto r quadro tranne 0.....è un dominio chiuso?
Perchè......non dovrebbe essere, praticamente per intenderci, come se fosse da [tex]]-\infty, (0,0)(0,0),+\infty[[/tex]
Per intenderci l'ho scritt in quel modo, ma io pensavo fosse un intervallo aperto...
Di questa funzione che ti ho proposto, il dominio lo hai scritto prima correttamente.
Tutto r quadro tranne 0.....è un dominio chiuso?
Perchè......non dovrebbe essere, praticamente per intenderci, come se fosse da [tex]]-\infty, (0,0)(0,0),+\infty[[/tex]
Per intenderci l'ho scritt in quel modo, ma io pensavo fosse un intervallo aperto...
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