Differenziabilità
[tex]x\log(x^2+y^2+1)[/tex]
E' differenziabile nel punto (0,0)?
La funzione dovrebbe valere 0 lì, e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0, calcolando il limite per vedere la differenziabilità ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ottengo questo limite:
[tex]\frac{k^2}{k\sqrt{2}}[/tex] che dovrebbe fare 0.
Ma questo basta per dire che è differenziabile?
COme faccio altrimenti a vedere che non tutte le restrizione hanno limite uguale a 0, se così è?
E' differenziabile nel punto (0,0)?
La funzione dovrebbe valere 0 lì, e le derivate parziali sono entrambe uguali a 0, calcolando il limite per vedere la differenziabilità ho considerato la restrizione in cui h=k con k>0 e ottengo questo limite:
[tex]\frac{k^2}{k\sqrt{2}}[/tex] che dovrebbe fare 0.
Ma questo basta per dire che è differenziabile?
COme faccio altrimenti a vedere che non tutte le restrizione hanno limite uguale a 0, se così è?
Risposte
"Darèios89":
Emh....quel dominio...sarebbe dato da:
[tex]x^2+y^2>=1[/tex]
Emh....che non capisco bene come si traduca.......forse è verificata per tutti i punti diversi dall'origine?
P.S il teorema del differenziale dice che le derivate devono essere continue in un punto, e come lo verifico?
Io pensavo che se una funzione è continua in un punto e dotata di derivate parziali esse sono certamente continue...spero sia così..
Qui, hai scritto il dominio giusto. E non è assolutamente tutto $R^2$
Riguardo ad un dominio $R^2$ eccetto $(0,0)$ (che non è quello della funzione proposta), è un dominio aperto.
Mh.....il problema è che io queste disequazioni non le capisco.........cioè in teoria sarebbe l'insieme dei punti....tali che almeno uno dei due deve essere diverso da 0.......
Allora;
quando ti trovi davanti questa disuguaglianza:
[tex]$x^2+y^2 \ge 1$[/tex]
Le prime volte rifletti così:
1) Togli il segno di disuguaglianza e chiediti cosa è [tex]$x^2+y^2 =1$[/tex] ?
Evidentemente è una circonferenza di raggio [tex]$1$[/tex] e centro nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]
Detto ciò è facile intuire che [tex]$x^2+y^2 \ge 1$[/tex] sono tutti i punti esterni alla circonferenza (compresi i punti della circonferenza,perché la disuguaglianza non è stretta).
Volendo puoi facilmente verificarlo, provando a sostituire nella disuguaglianza un punto interno; ad esempio il centro della circonferenza [tex]$(0,0)$[/tex]; otterresti:
[tex]$0+0 \ge 1$[/tex] cioé [tex]$0 \ge 1$[/tex] che è assolutamente falso, quindi i punti sono quelli esterni
quando ti trovi davanti questa disuguaglianza:
[tex]$x^2+y^2 \ge 1$[/tex]
Le prime volte rifletti così:
1) Togli il segno di disuguaglianza e chiediti cosa è [tex]$x^2+y^2 =1$[/tex] ?
Evidentemente è una circonferenza di raggio [tex]$1$[/tex] e centro nel punto [tex]$(0,0)$[/tex]
Detto ciò è facile intuire che [tex]$x^2+y^2 \ge 1$[/tex] sono tutti i punti esterni alla circonferenza (compresi i punti della circonferenza,perché la disuguaglianza non è stretta).
Volendo puoi facilmente verificarlo, provando a sostituire nella disuguaglianza un punto interno; ad esempio il centro della circonferenza [tex]$(0,0)$[/tex]; otterresti:
[tex]$0+0 \ge 1$[/tex] cioé [tex]$0 \ge 1$[/tex] che è assolutamente falso, quindi i punti sono quelli esterni
Quindi il dominio è dato dai punti della criconferenza e quelli esterni, ed è un intervallo chiuso?
"Darèios89":
:-D
Quindi il dominio è dato dai punti della criconferenza e quelli esterni, ed è un intervallo chiuso?
Scrivi la definizione di insieme chiuso
Secondo te perchè non lo è? E perchè lo è?
Emh....un insieme dovrebbe dirsi chiuso se continene solo i punti di frontieri e quelli esterni, che dovrebbe essere il nostro caso quindi l'insieme è chiuso.
Aperto invece...non mi ricordo la definizione matematica.............
Se contiene solo punti interni?
Aperto invece...non mi ricordo la definizione matematica.............
Se contiene solo punti interni?
"Darèios89":
Aperto invece...non mi ricordo la definizione matematica.............
Se contiene solo punti interni?
La accendiamo??
mmm. ti consiglio di rivederti le definizioni!
"Darèios89":
Emh....un insieme dovrebbe dirsi chiuso se continene solo i punti di frontieri e quelli esterni, che dovrebbe essere il nostro caso quindi l'insieme è chiuso.
Aperto invece...non mi ricordo la definizione matematica.............
Se contiene solo punti interni?
Ti posso assicurare che la prima cosa da fare è studiare la teoria, senza la quale passare lo scritto è solo questione di fortuna.
Si hai ragione faximusy........mi sa che domani mattina faccio un ripasso generale di teoria, oggi faccio un pò di esercizi, e la mattina che sono fresco teoria.
L'esame è giovedì........quindi devo cercare di.......fare l'uno e l'altro....
E comunque si, la accendiamo...
Ricordavo bene, mentre ho scritto negli appunti che un insieme è chiuso se contiene solo i suoi punti di accumulazione.
Ma ora che rileggo quello che ho scritto non so se ho dimenticato a copiare qualcosa, solo punti di accumulazione o anche di frontiera?
L'esame è giovedì........quindi devo cercare di.......fare l'uno e l'altro....
E comunque si, la accendiamo...
Ricordavo bene, mentre ho scritto negli appunti che un insieme è chiuso se contiene solo i suoi punti di accumulazione.
Ma ora che rileggo quello che ho scritto non so se ho dimenticato a copiare qualcosa, solo punti di accumulazione o anche di frontiera?
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