Differenziabilità
Salve a tutti,
Funzione 1: vorrei stabilire se è differenziabile in (0,0); (credo) di aver dimostrato che non lo, per farlo ho cercato di imboccare due strade:ho trovato con la definizione che le derivate direzionali valgono sempre 1, poi ho supposto che la funzione sia differenziabile e ho applicato il metodo del gradiente con il vettore (uno su radice di 5,due su radice di 5) e sono giunto ad un assurdo(derivata direzionale diversa da 1); se volessi applicare la definizione come farei dato che le derivate parziali sono 0 su 0? In generale come mi comporto quando succede questo?
Funzione 2:Prima di cercare di studiare la differenziabilità in (0,0) andrebbe ridefinita in 0?
Qua andando a studiare la differenziabilità succede che le derivate parziali sono 0 su 0, passando a limite succede che tendono a zero:dovrei definire che entrambe valgano zero nell'origine per dire che sono continue!
Ringrazio chiunqua mi dia una delucidazione:)
Funzione 1: vorrei stabilire se è differenziabile in (0,0); (credo) di aver dimostrato che non lo, per farlo ho cercato di imboccare due strade:ho trovato con la definizione che le derivate direzionali valgono sempre 1, poi ho supposto che la funzione sia differenziabile e ho applicato il metodo del gradiente con il vettore (uno su radice di 5,due su radice di 5) e sono giunto ad un assurdo(derivata direzionale diversa da 1); se volessi applicare la definizione come farei dato che le derivate parziali sono 0 su 0? In generale come mi comporto quando succede questo?
Funzione 2:Prima di cercare di studiare la differenziabilità in (0,0) andrebbe ridefinita in 0?
Qua andando a studiare la differenziabilità succede che le derivate parziali sono 0 su 0, passando a limite succede che tendono a zero:dovrei definire che entrambe valgano zero nell'origine per dire che sono continue!
Ringrazio chiunqua mi dia una delucidazione:)
Risposte
Per quanto concerne la prima funzione, le derivate parziali in 0 non esistono mi pare, infatti il grafico e' un cono con vertice nell'origine. Gia' questo ti dava la non differenziabilita'.
Per la funzione 2, essa non e' definita in (0,0), quindi non ha senso chiedersi se e' ivi differenziabile.
P.S. Le derivate non possono essere 0 su 0: 0 su 0 e' una forma di indeterminazione che appare quando uno calcola un limite, ma non e' il risultato di un passaggio al limite.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Per la funzione 2, essa non e' definita in (0,0), quindi non ha senso chiedersi se e' ivi differenziabile.
P.S. Le derivate non possono essere 0 su 0: 0 su 0 e' una forma di indeterminazione che appare quando uno calcola un limite, ma non e' il risultato di un passaggio al limite.
Luca Lussardi
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Per la prima funzione le derivate parziali calcolate con il metodo normale e valutate in zero danno 0 su 0, calcolando le derivate parziali con il limite del rapporto incrementale (se non ho fatto errori) vengono entrambe uno. Il testo dice che nel caso in cui si tenta di valutare le derivate parziali calcolate col metodo normale nel punto desiderato e si ha 0 su 0 bisogna calcolarle facendo il limite rapporto incrementale (in effetti in questo esempio viene che sono effettivamente uno). Potresti gentilmente farmi un esempio in cui succede che le derivate parziali NON esistano? Ti ringrazio.
Nella prima funzione che hai postato le derivate in 0 non esistono; non so da dove hai tirato fuori quell'1 che ti esce. Un cono non puo' avere derivate parziali nel suo vertice, non trovi?
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Nel caso di funzioni di due variabili di questo tipo il metodo sicuro consiste, a mio modesto parere s’intende, nel passare dalle coordinate cartesiane (x,y) alle coordinate polari (r,a) attraverso le note relazioni…
x= r*cos a
y=r*sin a [1]
… e vedere il comportamento delle funzioni e delle loro derivate parziali per r -> 0 [ossia per (x,y) -> (0,0)].
Operando in tal modo sulla funzione f(x,y)= (x^2+y^2)^1/2 si trova che la funzione stessa vale 0 per r=0 e le sue derivate parziali sono invece indetermionate. Stesso risultato si ha operando sulla funzione f(x,y)=x*y^2/(x^2+y^2). I dettagli del calcolo sono facili e non li riporterò…
cordiali saluti
lupo grigio
x= r*cos a
y=r*sin a [1]
… e vedere il comportamento delle funzioni e delle loro derivate parziali per r -> 0 [ossia per (x,y) -> (0,0)].
Operando in tal modo sulla funzione f(x,y)= (x^2+y^2)^1/2 si trova che la funzione stessa vale 0 per r=0 e le sue derivate parziali sono invece indetermionate. Stesso risultato si ha operando sulla funzione f(x,y)=x*y^2/(x^2+y^2). I dettagli del calcolo sono facili e non li riporterò…
cordiali saluti
lupo grigio
E' vero è vero, avevo sbagliato un banale limite.
Calcolando il limite di ( f(0+h,0)-f(0,0) ) / h per h che tende a 0(che equivale a calcolare la derivata parziale rispetto a x) esce che il limite non esiste (si avrebbe 1 per h->0+, -1 per h-> 0-).
Vi ringrazio.
Calcolando il limite di ( f(0+h,0)-f(0,0) ) / h per h che tende a 0(che equivale a calcolare la derivata parziale rispetto a x) esce che il limite non esiste (si avrebbe 1 per h->0+, -1 per h-> 0-).
Vi ringrazio.
Un aiuto: quando si può notare che la funzione è identicamente nulla sugli assi coordinati, cioè è uguale a 0 calcolata in (0,y) ed è uguale a 0 anche calcolata in (x,0), allora si può sicuramente concludere che le derivate parziali nell'origine sono entrambe nulle. Nel nostro caso il ragionamento può essere applicato alla funzione 2.
La prima parte di quello che hai detto e' corretto; la seconda parte un po' meno, poiche' la funzione 2 non e' definita nell'origine. Comunque e' nulla su entrambi gli assi, origine esclusa: ne segue che le derivate parziali nell'origine sono nulle, ad esempio se si pone f(0,0)=0.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Hai perfettamente ragione. Avrei dovuto precisare che tale discorso vale se la funzione è definita nell'origine. Grazie
Nel mio precedente intervento ho omesso calcoli dettagliati pensando che fossero semplici e non fosse necessario riportarli. Alcuni interventi successivi, che contengono affermazioni un poco discutibili, a mio modo di vedere s’intende, riguardo alla seconda delle funzioni date, mi hanno però fatto ricredere e pertanto penso sia meglio riportarli. La funzione in questione è…
f(x,y)=x*y^2/(x^2+y^2) [1]
… e si vuole determinare il valore della funzione e delle sue derivate parziale nel punto [0,0]. Procediamo innanzitutto in maniera formale e calcoliamo le derivate parziali della [1], funzioni anch’esse delle due variabili x e y…
df/dx= -y^2*(x^2-y^2)/[(x^2+y^2)^2]
df/dy= 2*x*y*(x^2-y^2)/[(x^2+y^2)^2] [2]
E’ del tutto ovvio che, se nella [1] e nelle [2] si pone x=y=0 ci si trova di fronte ad espressioni che sono dette, a mio modo di vedere impropriamente, ‘forme indeterminate’. Per risolvere l’ambiguità in casi come questi il modo migliore di procedere, sempre a mio modesto parere s’intende, sta nel passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari, passando per le note formule…
x=r*cos a
y= r*sin a [3]
… ed osservando il comportamento delle funzioni sotto esame ponendo
r=0 [ossia x=y=0]…
Si trova così…
f(x,y) = r*cos a*sin^2 a [4]
df/dx = sin^2 a – cos^2 a [5]
df/dy = 2*sin a*cos a*(cos^2 a - sin^2 a) [6]
Osservando la [4] si vede chiaramente che f(x,y) vale univocamente 0 per r=0 [ossia per x=y=0] e pertanto non esatto dire che nell’origine il valore della funzione è indeterminato. Per quanto riguarda invece le derivate si nota che sono indipendenti da r e pertanto il loro valore nell’origine è indeterminato, ovvero più esattamente il limite per r-> 0, ovvero [x,y]->[0,0], di tali derivate non esiste…
cordiali saluti
lupo grigio
f(x,y)=x*y^2/(x^2+y^2) [1]
… e si vuole determinare il valore della funzione e delle sue derivate parziale nel punto [0,0]. Procediamo innanzitutto in maniera formale e calcoliamo le derivate parziali della [1], funzioni anch’esse delle due variabili x e y…
df/dx= -y^2*(x^2-y^2)/[(x^2+y^2)^2]
df/dy= 2*x*y*(x^2-y^2)/[(x^2+y^2)^2] [2]
E’ del tutto ovvio che, se nella [1] e nelle [2] si pone x=y=0 ci si trova di fronte ad espressioni che sono dette, a mio modo di vedere impropriamente, ‘forme indeterminate’. Per risolvere l’ambiguità in casi come questi il modo migliore di procedere, sempre a mio modesto parere s’intende, sta nel passaggio dalle coordinate cartesiane alle coordinate polari, passando per le note formule…
x=r*cos a
y= r*sin a [3]
… ed osservando il comportamento delle funzioni sotto esame ponendo
r=0 [ossia x=y=0]…
Si trova così…
f(x,y) = r*cos a*sin^2 a [4]
df/dx = sin^2 a – cos^2 a [5]
df/dy = 2*sin a*cos a*(cos^2 a - sin^2 a) [6]
Osservando la [4] si vede chiaramente che f(x,y) vale univocamente 0 per r=0 [ossia per x=y=0] e pertanto non esatto dire che nell’origine il valore della funzione è indeterminato. Per quanto riguarda invece le derivate si nota che sono indipendenti da r e pertanto il loro valore nell’origine è indeterminato, ovvero più esattamente il limite per r-> 0, ovvero [x,y]->[0,0], di tali derivate non esiste…
cordiali saluti
lupo grigio
Caro Lupo grigio, quello che hai fatto va bene, ma se una funzione non e' definita in un punto, non ha senso chiedersi se li' sia continua, derivabile o differenziabile. Con i tuoi conti hai solo prolungato per continuita' la funzione data in 2) nell'origine, ottenendo cosi' "un'altra funzione", che risulta continua e con derivate nulle nell'origine. Sono quasi sicuro che il testo vero della funzione 2) dava gia' un valore ad essa in (0,0) (probabilmente 0); ma se cosi' non fosse, non e' possibile parlare di continuita' di f in (0,0), ne' di derivabilita' in (0,0).
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Una forma indeterminata del tipo 0/0 si presenta se e solo se si tratta di zeri a cui tendiamo, cioè zeri al limite, insomma del tipo x/y per x,y-->0,0.
Nel nostro caso si tratta di zeri veri, valori assunti (zero secco). Una funzione non è definita nei punti in cui il suo denominatore si annulla.
Non confondete il punto in cui il denominatore è nullo con una forma indeterminata. Quando si tratta di una forma indeterminata 0/0 i numeri al numeratore e al denominatore sono zeri a cui si tende, ovvero sono numeri del tipo 0.0000000000000001, tanto per capirci.
Nel nostro caso si tratta di zeri veri, valori assunti (zero secco). Una funzione non è definita nei punti in cui il suo denominatore si annulla.
Non confondete il punto in cui il denominatore è nullo con una forma indeterminata. Quando si tratta di una forma indeterminata 0/0 i numeri al numeratore e al denominatore sono zeri a cui si tende, ovvero sono numeri del tipo 0.0000000000000001, tanto per capirci.
Appunto, la funzione 2) non e' definita in (0,0). Il ragionamento di Lupo grigio non risolve una ambiguita', poiche' non ci sono ambiguita'.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Lo studio della funzione proposta all’inizio della discussione è, secondo me, assai interessante poiché da l’occasione di approfondire molti problemi che a tutt’oggi sono un poco ‘in sospeso’. Uno è quello relativo alle cosiddette ‘forme indeterminate, ossia a funzioni le quali recerti valori delle variabili indipendenti non possono essere determinate ‘per via diretta’, ossia con la semplice sostituzione delle variabili indipendenti nell’espressione analitica della funzione stessa. La più comune [non certo l’unica] di tali ‘forme indeterminate’ è la ben nota espressione ‘0/0’. Tra le tante funzioni che rientrano in tale categoria, una in particolare è importante, almeno per l’attività che conduco da trent’anni a questa parte: la funzione sinc(t), definita come…
sinc(t) = sin t/t [1]
Dai più si sente affermare che tale funzione è ‘non definita’ per t=0 in quanto ‘forma indeterminata’. Il fatto è che nell’elettronica delle telecomunicazioni la funzione sinc(t) è non solo importante, ma addirittura fondamentale e tra le caratteristiche che la rendono tale vi è quella che è sinc(0)=1. In effetti se consideriamo le sviluppo in serie della funzione sin(t)…
sin(t)= Sum [n=0,+00] (-1)^n* t^(2*n+1)/(2*n+1)! [2]
… dividendo tutti i termini per t si ottiene e lo sviluppo in serie di sinc(t)…
sinc(t)= Sum [n=0,+00] (-1)^n t^2*n/(2*n+1)! [3]
Ora è evidente che ponendo t=0 nella [3] si ha che sinc(0)=1. Al pari della funzione proposta all’inizio dunque, sinc(t) è in realtà univocamente definita per t=0…
cordiali saluti
lupo grigio
sinc(t) = sin t/t [1]
Dai più si sente affermare che tale funzione è ‘non definita’ per t=0 in quanto ‘forma indeterminata’. Il fatto è che nell’elettronica delle telecomunicazioni la funzione sinc(t) è non solo importante, ma addirittura fondamentale e tra le caratteristiche che la rendono tale vi è quella che è sinc(0)=1. In effetti se consideriamo le sviluppo in serie della funzione sin(t)…
sin(t)= Sum [n=0,+00] (-1)^n* t^(2*n+1)/(2*n+1)! [2]
… dividendo tutti i termini per t si ottiene e lo sviluppo in serie di sinc(t)…
sinc(t)= Sum [n=0,+00] (-1)^n t^2*n/(2*n+1)! [3]
Ora è evidente che ponendo t=0 nella [3] si ha che sinc(0)=1. Al pari della funzione proposta all’inizio dunque, sinc(t) è in realtà univocamente definita per t=0…
cordiali saluti
lupo grigio
Permettimi di ribattere, ma sbagli: la funzione sen t/t non e' definita per t=0, punto e basta. 0 non e' un punto del suo dominio. Che poi essa possa essere prolungata per continuita' anche in t=0 ponendola uguale ad 1, e' un'altra cosa.
Invece ti do' ragione sulle forme indeterminate: esse rappresentano solo delle notazioni simboliche che ricordano che una certa forma di limite puo' valere cose diverse a seconda di casi.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Invece ti do' ragione sulle forme indeterminate: esse rappresentano solo delle notazioni simboliche che ricordano che una certa forma di limite puo' valere cose diverse a seconda di casi.
Luca Lussardi
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Che la funzione sinx/x non sia definita in x=0 è a mio parere indiscutibile.
L'espressione 0/0 è priva di significato : qualunque numero infatti moltiplicato per 0 dà 0.
La funzione ha quindi un punto di discontinuità in x = 0
E' una discontinuità eliminabile (di terzo tipo) in quanto il limite per x che tende a 0 di sinx/x vale 1 e quindi basta assegnare alla funzione il valore 1 per x = 0 che la si è resa continua e definita in tutto R ; ma come definita inizialmente non è continua in x = 0 in quanto non è neppure definita.
Camillo
L'espressione 0/0 è priva di significato : qualunque numero infatti moltiplicato per 0 dà 0.
La funzione ha quindi un punto di discontinuità in x = 0
E' una discontinuità eliminabile (di terzo tipo) in quanto il limite per x che tende a 0 di sinx/x vale 1 e quindi basta assegnare alla funzione il valore 1 per x = 0 che la si è resa continua e definita in tutto R ; ma come definita inizialmente non è continua in x = 0 in quanto non è neppure definita.
Camillo
La definizione di Sinc(x) che conosco io e' questa:
Sinc(x) = sin(x) / x per x!=0
Sinc(x) = 0 per x=0
Con questa definizione non si pone il problema del valore in 0.
Per la differenziabilita' la funzione 1 e', secondo me, NON differenziabile. Infatti
z=sqrt(x^2+y^2)= || (x,y) ||2 (norma euclidea)
Passando in cooridinate polari viene z=|r|. (se x=r cos(a) y=r sin(a))
Cambiando coordinate bisognerebbe derivare rispetto a r e rispetto a "a" per utilizzare il criterio della derivabilita'...
Ma si vede ad occhio che z=|r| che non e' una funzione differenziabile.
Comunque fuori dall'origine dovrebbe essere differenziabile....
Sinc(x) = sin(x) / x per x!=0
Sinc(x) = 0 per x=0
Con questa definizione non si pone il problema del valore in 0.
Per la differenziabilita' la funzione 1 e', secondo me, NON differenziabile. Infatti
z=sqrt(x^2+y^2)= || (x,y) ||2 (norma euclidea)
Passando in cooridinate polari viene z=|r|. (se x=r cos(a) y=r sin(a))
Cambiando coordinate bisognerebbe derivare rispetto a r e rispetto a "a" per utilizzare il criterio della derivabilita'...
Ma si vede ad occhio che z=|r| che non e' una funzione differenziabile.
Comunque fuori dall'origine dovrebbe essere differenziabile....
cari amici
spero tanto non ve la prendiate se affermo che… forse… qualcuno di voi è... ehm... a little confused...
Vediamo un po’, allo scopo di chiarirci un poco le idee, di spendere un attimo due paroline sulla funzione sinc(t) = sin t/t. Tutta la moderna tecnologia delle comunicazioni, grazie alla quale anche Internet esiste, è basata sul cosiddetto ‘teorema del campionamento’, il quale in estrema sintesi si riduce a questo. Supponiamo di dover trasmettere un segnale x(t) [il quale può essere una telefonata, un fax, un brano musicale, un’immagine, etc…] a banda finita, ossia la sua trasformata, definita come…
X(f) = Int [-00
… ha la seguente proprietà…
|X(f)|= 0 per |f|> fo = 1/(2*T) [2]
Il teorema del campionamento afferma che un segnale x(t) che gode della proprietà [2] è completamente definito se si conoscono i valori…
x(n)= x(t) per t=n*T [3]
In particolare, e qui entra in gioco la funzione sinc(*), il segnale x(t) può essere ricostruito interamente [ossia per tutti i valori di t…] nel modo seguente…
x(t) = Sum [-00
E’ del tutto evidente che, perché il teorema sia valido e noi si possa continuare a ricevere telefonate, fax e Internet, è necessario che sia sinc(0)=1 e non altro, in modo da ricevere il segnale x(t) e non altro…
Perdonatemi ancora ragazzi se insisto, ma sentir affermare che in t=0 non solo non esiste la funzione sinc(t) ma neppure la sua derivata, mi pare francamente… ecco un pochino esagerato… Per finire darò nuovamente lo sviluppo in serie della funzione sinc(t) e della sua derivata…
sinc(t) = Sum [n=0,+00] (-1)^n * t^(2*n)/(2*n+1)!
sinc’(t)= Sum [n=1,+00] (-1)^n *2*n*t^(2*n-1)/(2*n+1)! [5]
E’ tra l’altro del tutto evidente che risulta sinc’(0)=0 …
cordiali saluti
lupo grigio
Allora, quello che hai esposto e' corretto, ma quello su cui si stava questionando non e' questo. La tua funzione e' senc(t) giusto? Ebbene questa funzione e' definita su tutto R e vale sen t/t per t diverso da 0, e vale 1 per t=0.
Diverso e' considerare la funzione sen t/t: essa e' definita su R meno t=0.
Quando in Matematica si assegna una funzione, si da' dominio, codominio ed eventuale espressione analitica.
Spero che sia chiaro, non mi sembra cosi' difficile da capire.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Diverso e' considerare la funzione sen t/t: essa e' definita su R meno t=0.
Quando in Matematica si assegna una funzione, si da' dominio, codominio ed eventuale espressione analitica.
Spero che sia chiaro, non mi sembra cosi' difficile da capire.
Luca Lussardi
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Se considero la funzione semplicissima :f(x) = x/x ebbene essa è definita in tutto R, dove vale 1 eccetto il punto x= 0 in cui non è definita; il limite per x che tende a 0 di f(x) vale 1.
E' una situazione molto simile a : sinx/x ma con una funzione ancora più semplice come espressione analitica.
Camillo
E' una situazione molto simile a : sinx/x ma con una funzione ancora più semplice come espressione analitica.
Camillo
Quanto afferma Lupo Grigio e cioè che la funzione sinc(t) valga 1 per x = 0 deducendolo dal suo sviluppo in serie non è esatto perchè
si ottiene : 0^0 , espressione indeterminata.
Camillo
si ottiene : 0^0 , espressione indeterminata.
Camillo
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