Differenza tra insieme compatto e intervallo
ciao.. 
studiando per l'esame di analisi 1, non ho ancora ben capito la differenza tra un sottoinsieme di R compatto ed un intervallo di R...Mi spiego..
Mi trovo scritta la definizione di intervallo, e il testo di analisi, oltre che i miei appunti, la indica con [a,b] ... Poi mi parla di insiemi compatti definendoli con le successioni e fin qui ci siamo..
Però poi in alcuni teoremi, tipo quello di Rolle, il testo usa la dicitura [a,b] (riferita agli intervalli) e però nella dimostrazione usa il fatto che il dominio della funzione è compatto..
Allora io volevo chiedere: sono strettamente legate le due cose oppure no?(secondo me no).. e soprattutto, perchè trovo la stessa dicitura per due cose che
probabilmente sono diverse?
Preciso che il mio testo non usa una dicitura particolare e propria per insiemi compatti..
Vi ringrazio già da ora
...
studiando per l'esame di analisi 1, non ho ancora ben capito la differenza tra un sottoinsieme di R compatto ed un intervallo di R...Mi spiego..
Mi trovo scritta la definizione di intervallo, e il testo di analisi, oltre che i miei appunti, la indica con [a,b] ... Poi mi parla di insiemi compatti definendoli con le successioni e fin qui ci siamo..
Però poi in alcuni teoremi, tipo quello di Rolle, il testo usa la dicitura [a,b] (riferita agli intervalli) e però nella dimostrazione usa il fatto che il dominio della funzione è compatto..
Allora io volevo chiedere: sono strettamente legate le due cose oppure no?(secondo me no).. e soprattutto, perchè trovo la stessa dicitura per due cose che
probabilmente sono diverse?
Preciso che il mio testo non usa una dicitura particolare e propria per insiemi compatti..
Vi ringrazio già da ora
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Risposte
C'è un teorema che ci assicura che in $RR^k$ dotato della metrica euclidea un insieme è compattto se e solo se è chiuso e limitato, ad esempio gli intervalli del tipo $[a,b]$ in $RR$.
E quindi, volendo completare quanto detto da strangolatoremancino, gli intervalli chiusi e limitati sono compatti ma non tutti gli insiemi compatti sono intervalli chiusi e limitati. Per esempio l'insieme ${0, 1}$ non è un intervallo ma è compatto.
Dissonance, potresti spiegare perché ${0,1}$ è compatto?
Tutti gli insiemi finiti, in qualsiasi spazio topologico, sono compatti. Ma limitiamoci al caso di [tex]\mathbb{R}^n[/tex] per non disperdere le idee. Sia [tex]X=\{x_1...x_n\}\subset \mathbb{R}^n[/tex]. Prendiamo una successione [tex](y_1, y_2, ...)[/tex] di elementi di [tex]X[/tex]. Questa successione consiste di termini per infiniti indici ma l'insieme entro cui scegliere questi termini è finito. Di conseguenza deve esistere un elemento [tex]x_k[/tex] tale che [tex]y_n=x_k[/tex] per infiniti indici [tex]n[/tex]. Il risultato, intuitivamente ovvio, che ci permette di fare questo è noto come principio dei cassetti (pigeonhole principle).
Esiste quindi una successione costante [tex]$(y_{n_j})_{j\in\mathbb{N}}[/tex] estratta da [tex]$(y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex]. Chiaramente questa successione converge, come tutte le successioni costanti. Quindi [tex]X[/tex] è compatto.
Notare come non tutte le successioni hanno una sotto-successione costante. Esempio cretino:
[tex]$(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...)[/tex]
___________
Abbiamo visto che ogni insieme finito è compatto. E io aggiungerei: non solo, ma anzi gli insiemi finiti sono il prototipo di insieme compatto. Questa proprietà di poter estrarre sottosuccessioni convergenti infatti è proprio la generalizzazione del principio dei cassetti; oppure in altre parole, laddove negli insiemi finiti vale il principio dei cassetti, che è una proprietà molto forte e utile, negli insiemi compatti vale la proprietà di Bolzano-Weierstrass (ogni successione ha una estratta convergente), che ne è un surrogato.
Esiste quindi una successione costante [tex]$(y_{n_j})_{j\in\mathbb{N}}[/tex] estratta da [tex]$(y_n)_{n\in\mathbb{N}}[/tex]. Chiaramente questa successione converge, come tutte le successioni costanti. Quindi [tex]X[/tex] è compatto.
Notare come non tutte le successioni hanno una sotto-successione costante. Esempio cretino:
[tex]$(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...)[/tex]
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Abbiamo visto che ogni insieme finito è compatto. E io aggiungerei: non solo, ma anzi gli insiemi finiti sono il prototipo di insieme compatto. Questa proprietà di poter estrarre sottosuccessioni convergenti infatti è proprio la generalizzazione del principio dei cassetti; oppure in altre parole, laddove negli insiemi finiti vale il principio dei cassetti, che è una proprietà molto forte e utile, negli insiemi compatti vale la proprietà di Bolzano-Weierstrass (ogni successione ha una estratta convergente), che ne è un surrogato.
ok ..
Quindi devo intendere gli intervalli chiusi e limitati ( quindi non del tipo [a,b[ e neanche del tipo ]a,b[ ) come insiemi compatti..
Ho solo una perplessità : perchè esiste un teorema che dice che un insieme è compatto SE E SOLO SE è chiuso e limitato,
ma poi ci sono insiemi compatti che non sono chiusi e limitati? non ci vorrebbe una semplice implicazione nel teorema citato da
strangolatoremancino ?
Preciso che so anche la dimostrazione di quel teorema di strangolatoremancino e quindi è per questo che mi risulta nuova l'affermazione di Dissonance..
Intanto vi ringrazio veramente per le precisazioni ..
..Quindi devo intendere gli intervalli chiusi e limitati ( quindi non del tipo [a,b[ e neanche del tipo ]a,b[ ) come insiemi compatti..
Ho solo una perplessità : perchè esiste un teorema che dice che un insieme è compatto SE E SOLO SE è chiuso e limitato,
ma poi ci sono insiemi compatti che non sono chiusi e limitati? non ci vorrebbe una semplice implicazione nel teorema citato da
strangolatoremancino ?
Preciso che so anche la dimostrazione di quel teorema di strangolatoremancino e quindi è per questo che mi risulta nuova l'affermazione di Dissonance..
Intanto vi ringrazio veramente per le precisazioni
..
In tutti gli spazi metrici un compatto è chiuso e limitato, in $RR^k$ con la metrica euclidea vale anche l'implicazione inversa.
Quello che ha detto dissonance è che ci sono compatti che non sono intervalli chiusi e limitati, ad esempio gli insiemi finiti, ma magari non ho capito il tuo dubbio.
Quello che ha detto dissonance è che ci sono compatti che non sono intervalli chiusi e limitati, ad esempio gli insiemi finiti, ma magari non ho capito il tuo dubbio.
Per completezza, a doppia implicazione in $RR^k$ non è altro che il teorema di Heine-Borel: http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Heine-Borel
ah ok...quindi su uno spazio con la metrica euclidea è un "se e solo se"..
Mentre se non ho uno spazio con la metrica euclidea, allora è una implicazione semplice..
giusto? ...
Spero e credo di aver capito ..
Mentre se non ho uno spazio con la metrica euclidea, allora è una implicazione semplice..
giusto?
...Spero e credo di aver capito
..
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