Differenza tra funzione, funzionale, operatore e applicazione

[rettile56]

Buongiorno,
ho bisogno di un po' di chiarezza. Sto facendo -a un livello da metodi matematica per la fisica- analisi funzionale. Tutto molto bello, senonchè ti accorgi che l'analisi funzionale non si fa con le funzioni, ma con gli operatori talvolta chiamati un po' a caso funzionali.

Provo a spiegarmi:

Applicazione e funzione vengono per lo più usati come sinonimi. Una funzione sappiamo essere un "collegamento" tra insiemi che associa agli elementi del primo uno e uno solo elemento del secondo. L'applicazione è la stessa cosa? Più generico? Penso (penso) che sia la stessa cosa, ma ad un livello più "logico". Cioè mentre una funzione ha bisogno di essere espressa matematicamente, un'applicazione tra due insiemi può essere anche una cosa del tipo "è il contrario di", "ha la stessa cardinalità di". Corretto?

L'operatore invece è una mappa tra insiemi, mi dicono. Cioè una trasformazione dell'insieme A in B. Mi sembra che in realtà questo coincida con il concetto di funzione, ma ne specifichi un po' meglio lo scopo. Mentre per le funzioni non importa quale tipo di collegamento esista tra l'uno e l'altro insieme, un operatore ha il compito specifico di "mandare .. in .." Cioè è la stessa cosa di "funzione", ma si fa più riferimento alla funzione (scusate il gioco di parole) di collegamento tra insiemi e meno alla relazione matematica precisa che c'è tra gli elementi dei rispettivi insiemi. In pratica mentre le funzioni possono stare lì tranquilline, gli operatori sono funzioni che hanno bisogno di qualcosa su cui operare oppure sono "inutili".
A questo punto però la domanda viene spontanea. Come mai in Analisi Funzionale usiamo gli "operatori"? In A.F. abbiamo spesso a che fare con COSE CHE MANGIANO FUNZIONI. Esiste una ragione per cui è meglio parlare di "OPERATORI che mandano lo spazio di funzioni A in B" rispetto a parlare di "FUNZIONI definite nello spazio di funzioni A a valori in B"? A giudicare dallo sbatti che bisogna farsi per riequilibrare tutte le definizione in chiave operatoriale (norma del sup, linearità, limitatezza ecc) direi di sì, ma non lo colgo.

E in tutto questo: esiste una definizione di "funzionale" o è una parola un po' random che si usa per dire "funzioni che però non è che siano proprio come tutte le altre funzioni ma quasi"? Un po' come "casale" o "viale" che ognuno li usa come gli pare.

Grazzzzzie per le risposte!

[Dante.utopia]

Sono quasi sinonimi, nel senso che: operatori, funzionali, trasformazioni, applicazioni, mappe; sono tutte funzioni. Ciò che cambia è al più il dominio e il codominio.

Per esempio, il termine operatore è spesso usato per indicare funzioni tra due spazzi vettoriali.
Invece, una funzione è spesso intesa tra $\mathbb{R}^n$ a valori in $\mathbb{R}$.
Un funzionale da uno spazio di funzioni a valori reali.

Per dirne alcune, presumo che a seconda dell'ambito siano impliciti il dominio e il codominio.