Differenza grafica tra funzioni e superfici.

[Omi1]

Salve a tutti, volevo sapere quale era la differenza a livello grafico tra funzioni $f:R^2->R$ e superfici. Inoltre le funzioni $f:R^3->R$ sono disegnate in 4 dimensioni? Grazie a tutti in anticipo.

[otta96]

"Omi":Salve a tutti, volevo sapere quale era la differenza a livello grafico tra funzioni $f:R^2->R$ e superfici.

I grafici di funzioni tra $RR^2$ e $RR$ sono superfici, ma ci sono superfici che non sono fatte in questo modo, per esempio $S^2={(x,y,z)\inRR^3|x^2+y^2+z^2=1}$ perché ci sono punti diversi che hanno la prime $2$ coordinate uguali.

Inoltre le funzioni $f:R^3->R$ sono disegnate in 4 dimensioni?

Si.

[gugo82]

@Omi: Non sono le funzioni ad essere "disegnate", ma i loro grafici.[nota]Gli algebristi avrebbero da obiettare, ma vabbé... [/nota]

Inoltre, una superficie parametrizzata è una funzione $phi :RR^2 supset U -> RR^3$, mentre una funzione numerica è una funzione $f:RR^2 supset U -> RR$... Vedi da te che si differenziano per la dimensione dello spazio di arrivo, poiché una superficie parametrizzata è una funzione vettoriale a tre componenti (dipendente da $2$ variabili) mentre una funzione numerica è una funzione scalare dipendente da due variabili.

[Indrjo Dedej]

@Omi, dipende da come la vuoi vedere. Puoi dire che una funzione \(f\) è un oggetto che consta di:

* un insieme \(X\), detto dominio, e di un insieme \(Y\), detto codominio
* un insieme \(\text{graph}\subseteq X \times Y\), detto grafico, che soddisfa la seguente proprietà \[\forall x \in X \exists! y \in Y \colon (x,y) \in \text{graph}\,.\][/list:u:hit17avu]
Ma visto che \(f \subseteq X \times Y\) soddisfante la proprietà di \(\text{graph}\) dice tutto e subito, si può appiattire il concetto di funzione a quello di grafico.
Tutto questo per dire: puoi scegliere secondo i tuoi gusti.

[gugo82]

@Indrjo Dedej:

"Indrjo Dedej":[...] una funzione \( f \) è un oggetto che consta di:

[*:2afri071] un insieme \( X \), detto dominio, e di un insieme \( Y \), detto codominio[/*:m:2afri071]
[*:2afri071] un insieme \( \text{graph}\subseteq X \times Y \), detto grafico, che soddisfa la seguente proprietà \[ \forall x \in X \exists y \in Y \colon (x,y) \in \text{graph}\,. \][/*:m:2afri071][/list:u:2afri071]

Una funzione non è l’oggetto che citi...

[Indrjo Dedej]

Ho scordato il "$!$".

[gugo82]

Già...

[otta96]

"Indrjo Dedej":\(f \subseteq X \times Y\) soddisfante la proprietà di \(\text{graph}\) dice tutto e subito.

Ma questo non è vero.

[Indrjo Dedej]

Cosa in particolare?

[otta96]

Non riesci a capire qual è il codominio.

[gugo82]

Il codominio è $Y$... Scusa, otta96, non ti seguo.

[otta96]

Se hai solo il grafico di $f$ intendo.

[gugo82]

No, sbagli.
Guarda bene la definizione di funzione come relazione.

[otta96]

Si.

[Indrjo Dedej]

Neanch'io riesco a seguirvi.

[vict85]

"arnett":@otta: intendi che hai solo l'immagine di $f$ e non l'intero codominio?

No, una funzione definisce il suo codominio. Ovvero una funzione è una tripletta \(f = (X, Y, \mathrm{graph}{f})\) che soddisfa una determinata proprietà (già richiamata in questa discussione). Se tu consideri un differente codominio allora hai una funzione differente anche se la funzione è sostanzialmente la stessa. Ogni tanto i corsi di analisi (e a volte quelli di logica) usano una definizione più ampia di funzione (per esempio che non richiede che la funzione sia definita per ogni \(x\in X\)) ma la definizione più accettata è quella scritta precedentemente.

[gugo82]

@arnett: Purtroppo tu ed otta96 confondete il grafico (che è un sottoinsieme di un prodotto cartesiano di due insiemi assegnati) ed il diagramma che si dà usualmente del grafico di una funzione numerica.
Sono due cose distinte.

[vict85]

"arnett":Sì: è appunto quello che si sta dicendo; che non basta assegnare il grafico per assegnare una funzione, poiché dal grafico non si hanno informazioni sul codominio.

Suppongo che la domanda se un sottoinsieme sappia o no di esserlo dovrebbe essere posta a qualcuno che ha studiato la teoria degli insiemi da un punto di vista più avanzata della mia, ma sinceramente non escludo che sia così (ovvero che non vada confuso un sottoinsieme con un insieme che può essere immerso in un'altro).

[otta96]

@gugo82 cosa intendi con diagramma? Non mi pare di averne sentito parlare.

[gugo82]

"arnett":Prendi il grafico seguente, banalissimo:$ \{ (1, 4), (2, 5), (3, 6) \}$

Questo lo dici tu che è un grafico... Ma non la definizione di funzione.

Per funzionare (scusate il gioco di parole! ), la definizione di funzione richiede tre elementi:

[*:3dieg67i] un insieme, detto dominio, diciamolo $X$;

[/*:m:3dieg67i]
[*:3dieg67i] un secondo insieme, detto condominio, chiamiamolo $Y$;

[/*:m:3dieg67i]
[*:3dieg67i] un terzo insieme, detto grafico, denotiamolo con $G$, che soddisfi le seguenti due proprietà:

[list=1][*:3dieg67i] $G subseteq X xx Y$;

[/*:m:3dieg67i]
[*:3dieg67i] (proprietà di grafico) per ogni $x in X$ esiste un unica coppia appartenente a $G$ che ha $x$ come prima coordinata, o, detta in altri termini, $AA x in X,\ EE!\ y_x in Y:\ (x,y_x) in G$.[/*:m:3dieg67i][/list:o:3dieg67i]

dal quale si desume la “legge di assegnazione” della funzione \(x \mapsto y_x=:f(x)\).[nota]Questa è da prendere col beneficio dell’inventario, altrimenti non avrebbero senso l’Assioma di Scelta e tutti i vari ammennicoli della Teoria Assiomatica degli Insiemi.[/nota][/*:m:3dieg67i][/list:u:3dieg67i]

In mancanza di anche solo uno di tali elementi, non è possibile individuare una funzione.

Conseguentemente, assegnare bene $G$, cioè specificando che valgano la 1 e la 2 (come proponevamo vice ed io), equivale ad assegnare tutti e tre gli insiemi di cui si ha bisogno (perché per soddisfare la 1 c’è bisogno di assegnare anche $X$ ed $Y$): in tal caso la pratica è corretta.
Mentre, assegnare male $G$, ossia assegnare l’insieme $G$ dicendo “questo è il grafico di una funzione” asserendo che $G$ gode della proprietà di grafico 2 senza nulla specificare circa la 1 (come proponevi tu), non è una pratica corretta... O, almeno, non sempre. Infatti, può darsi che vengano sottointese (poiché stabilite per convenzione) informazioni utili e che il lettore sia tenuto a ricordare le informazioni convenute per risolvere il problema.
Caso emblematico di questa faccenda è quello delle funzioni numeriche dell’Analisi, in cui il codominio è raramente specificato perché si assume convenzionalmente che esso sia $RR$.



"arnett":Il dominio è senza dubbio ${1, 2, 3}$. Il codominio? Potrebbe essere ${4, 5, 6}$ come potrebbe essere $\mathbb{R}$. Con certezza puoi solo dire chi è l'immagine.


Appunto, il problema è quello.
Assegnare $G$ asserendo che soddisfa la 2 senza dire nulla circa la 1 pone questo problema: qual è il codominio?
È la versione Matematica di mater semper certa...




"otta96":@gugo82 cosa intendi con diagramma? Non mi pare di averne sentito parlare.


Partiamo da una cosa semplice.
Cos’è una retta?
Questa qui sotto (con tutti i limiti imposti dalla rappresentazione grafica):
[asvg]noaxes();
line([-6,4], [6,-2]);[/asvg]
o questa roba qui:
\[
r:\ ax+by+c=0
\]
(con $a,b,c in RR$ e $a^2+b^2!=0$)?

La prima, giusto?

Certo... Perché una retta è un ente geometrico, non un’espressione algebrica.
Tuttavia, fissate alcune condizioni (ad esempio, in un fissato sistema di riferimento cartesiano nel piano), ogni retta si rappresenta mediante un’equazione del tipo $ax+by+c=0$.

Analogamente, che cos’è un grafico?
Beh, l’abbiamo definito sopra: è un insieme di coppie ordinate che gode di due proprietà (una rispetto ad altri due insiemi, l’altra più “intrinseca”).
Quindi, automaticamente, questo:
[asvg]axes();
line([-6,4],[6,-2]);[/asvg]
non è il grafico della funzione $f:RR -> RR,\ f(x) = -1/2 x +1$.
Però, il grafico della funzione in questione è l’insieme:
\[
G=\{ (x,-\frac{1}{2} x +1),\ \text{ con } x \in \mathbb{R}\}
\]
contenuto in $RR^2$ ed il diagramma disegnato sopra è una sua rappresentazione grafica... Che poi il diagramma del grafico sia chiamato semplicemente “grafico” è un abuso di linguaggio tollerato.