Determinazione tipo successione
Ciao a tutti,sto affrontando le successioni geometriche e aritmetiche e devo dire che bene o male le ho capite;ora ci sto facendo alcuni esercizi a riguardo,fra cui uno che mi fatto nascere un dubbio,l'esercizio è:
"Un ricamo consiste di un quadrato di lato l,entro il quale è costruito un altro quadrato i cui vertici sono i punti medi dei lati del precedente;dentro quest'ultimo ne viene costruito un altro,con le medesime modalità e cosi' via.
Se i quadrati sono in tutto n,quanto filo occorre per il ricamo?"
Ora io so che il primo termine sarà 4l,cioè il perimetro del primo quadrato;poichè dovrò fare la somma della serie mi serve trovarmi la ragione della stessa,per questo motivo mi calcolo il perimetro del secondo quadrato usando il teorema di Pitagora poichè all'interno si va a formare un triangolo isoscele con due cateti uguali e l'ipotenusa corrisponde al lato del secondo quadrato. Dopodichè moltiplico per 4 l'ipotenusa e ottengo il perimetro del secondo quadrato.
A questo punto mi devo calcolare la ragione,ma come faccio a determinare il tipo di successione poichè se è aritmetica la ragione si calcolerà in un modo se geometrica in un altro.
Vi posto la foto dei vari quadrati cosi' da essere più preciso:
http://i39.tinypic.com/69npjn.jpg
Grazie molto per la disponibilità
"Un ricamo consiste di un quadrato di lato l,entro il quale è costruito un altro quadrato i cui vertici sono i punti medi dei lati del precedente;dentro quest'ultimo ne viene costruito un altro,con le medesime modalità e cosi' via.
Se i quadrati sono in tutto n,quanto filo occorre per il ricamo?"
Ora io so che il primo termine sarà 4l,cioè il perimetro del primo quadrato;poichè dovrò fare la somma della serie mi serve trovarmi la ragione della stessa,per questo motivo mi calcolo il perimetro del secondo quadrato usando il teorema di Pitagora poichè all'interno si va a formare un triangolo isoscele con due cateti uguali e l'ipotenusa corrisponde al lato del secondo quadrato. Dopodichè moltiplico per 4 l'ipotenusa e ottengo il perimetro del secondo quadrato.
A questo punto mi devo calcolare la ragione,ma come faccio a determinare il tipo di successione poichè se è aritmetica la ragione si calcolerà in un modo se geometrica in un altro.
Vi posto la foto dei vari quadrati cosi' da essere più preciso:
http://i39.tinypic.com/69npjn.jpg
Grazie molto per la disponibilità
Risposte
Secondo me è più facile partire dal quadrato più interno, esso avrà lato $l$, quello successivo sarà $sqrt2l$, quello successivo ancora $sqrt2*sqrt2 l$, cioè $2l$... in sostanza il lato del successivo quadrato si ottiene moltiplicando il precedente per $sqrt2$. Se poi invece che il lato vogliamo il perimetro, scriveremo $4l$ al posto di $l$, ti pare sensato?
Innanzitutto, calcolare solo due termini non serve a nulla.
Infatti, servono almeno tre termini per farsi un'idea sul tipo di successione in questione, poiché se la successione è una progressione aritmetica [risp. geometrica] allora accade che \(a_2-a_1=a_3-a_2\) [risp. \(\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\)].
Nel caso in esame:
[list=1][*:24otn73a] il lato del primo quadrato è \(l_1:=l\) ed il suo perimetro è \(a_1:=4l_1=4l\);
[/*:m:24otn73a]
[*:24otn73a] il lato del secondo quadrato è \(l_2=\frac{\sqrt{2}}{2} l_1=\frac{\sqrt{2}}{2} l\) ed il suo perimetro è \(a_2=4l_2=4 \frac{\sqrt{2}}{2}\ l\);
[/*:m:24otn73a]
[*:24otn73a] il lato del terzo quadrato è \(l_3=\frac{\sqrt{2}}{2} l_2= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 l\) ed il perimetro è \(a_3=4 l_3=4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 l\).[/*:m:24otn73a][/list:o:24otn73a]
Da qui si vede chiaramente che i lati e, conseguentemente, i perimetri sono in progressione geometrica, no?
Ti rimane solo da dimostrare (ad esempio, per induzione) che effettivamente ciò accade non solo per i primi tre termini della successione, ma anche per tutti i rimanenti.
Infatti, servono almeno tre termini per farsi un'idea sul tipo di successione in questione, poiché se la successione è una progressione aritmetica [risp. geometrica] allora accade che \(a_2-a_1=a_3-a_2\) [risp. \(\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\)].
Nel caso in esame:
[list=1][*:24otn73a] il lato del primo quadrato è \(l_1:=l\) ed il suo perimetro è \(a_1:=4l_1=4l\);
[/*:m:24otn73a]
[*:24otn73a] il lato del secondo quadrato è \(l_2=\frac{\sqrt{2}}{2} l_1=\frac{\sqrt{2}}{2} l\) ed il suo perimetro è \(a_2=4l_2=4 \frac{\sqrt{2}}{2}\ l\);
[/*:m:24otn73a]
[*:24otn73a] il lato del terzo quadrato è \(l_3=\frac{\sqrt{2}}{2} l_2= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 l\) ed il perimetro è \(a_3=4 l_3=4 \left( \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 l\).[/*:m:24otn73a][/list:o:24otn73a]
Da qui si vede chiaramente che i lati e, conseguentemente, i perimetri sono in progressione geometrica, no?
Ti rimane solo da dimostrare (ad esempio, per induzione) che effettivamente ciò accade non solo per i primi tre termini della successione, ma anche per tutti i rimanenti.
Ciao a tutti,grazie per le risposte,vi volevo chiedere altre cose a riguardo:
1)Il mio metodo con Pitagora va bene comunque rispetto al vostro?
2)Parlando in generale,la ragione può dipendere da un qualsiasi parametro,ad esempio l,oppure deve essere una costante indipendente da qualsiasi parametro?
Grazie ancora
1)Il mio metodo con Pitagora va bene comunque rispetto al vostro?
2)Parlando in generale,la ragione può dipendere da un qualsiasi parametro,ad esempio l,oppure deve essere una costante indipendente da qualsiasi parametro?
Grazie ancora
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