Determinare un numero tale che dal rango n in su....
Ciao a tutti!
Sto preparando l'esame di Analisi senza aver mai potuto seguire il corso, cerco di capire cosa intende il professore quando in un esercizio mi chiede:
"Si determini un numero n0 tale che dal rango n0 in su (per tutti n≥n0)"
\(\displaystyle
\frac
{n^2+1}
{n^3+n^2+n-1}
<
1/1000
\)
Sinceramente non so come cominciare ad affrontare il problema, qualcuno potrebbe indirizzarmi verso una direzione per capire come risolvere problemi di questo tipo?
Grazie e scusatemi se non ho saputo fare di più da solo, chiedo solo una spintarella e poi provo a terminare da solo!
P.S. cosa intende per Rango?
Luca
Sto preparando l'esame di Analisi senza aver mai potuto seguire il corso, cerco di capire cosa intende il professore quando in un esercizio mi chiede:
"Si determini un numero n0 tale che dal rango n0 in su (per tutti n≥n0)"
\(\displaystyle
\frac
{n^2+1}
{n^3+n^2+n-1}
<
1/1000
\)
Sinceramente non so come cominciare ad affrontare il problema, qualcuno potrebbe indirizzarmi verso una direzione per capire come risolvere problemi di questo tipo?
Grazie e scusatemi se non ho saputo fare di più da solo, chiedo solo una spintarella e poi provo a terminare da solo!
P.S. cosa intende per Rango?
Luca
Risposte
Per curiosità ho provato a svolgerla come una normale disequazione, ovvero:
\(\displaystyle n^2+1<
\frac{n^3+n^2+n-1}{1000} \)
quindi
\(\displaystyle n^2+1-
\frac{n^3+n^2+n-1}{1000}<0 \)
mcm
\(\displaystyle \frac{-n^3+999n^2-n+1001}{1000}<0 \)
che è valida solo se:
\(\displaystyle -n^3+999n^2-n+1001<0 \)
dunque:
\(\displaystyle n(-n^2+999n-1)<-1001 \)
Trovando le radici del polinomio di secondo grado viene circa 0.001 e circa 998.998, quindi studiando i segni ci viene che lo zero lo superiamo tra 0 e 0.001 (Che non prendo in considerazione) e oltre 998.998, bisogna sommarci 1001 ed il risultato è che 1999.999 è sicuramente più grande del numero cercato, come risultato prenderò 2000. Effettivamente facendo i calcoli il risultato è corretto ma non sono sicuro che questo sia quello che volesse il docente, che ne dite?
\(\displaystyle n^2+1<
\frac{n^3+n^2+n-1}{1000} \)
quindi
\(\displaystyle n^2+1-
\frac{n^3+n^2+n-1}{1000}<0 \)
mcm
\(\displaystyle \frac{-n^3+999n^2-n+1001}{1000}<0 \)
che è valida solo se:
\(\displaystyle -n^3+999n^2-n+1001<0 \)
dunque:
\(\displaystyle n(-n^2+999n-1)<-1001 \)
Trovando le radici del polinomio di secondo grado viene circa 0.001 e circa 998.998, quindi studiando i segni ci viene che lo zero lo superiamo tra 0 e 0.001 (Che non prendo in considerazione) e oltre 998.998, bisogna sommarci 1001 ed il risultato è che 1999.999 è sicuramente più grande del numero cercato, come risultato prenderò 2000. Effettivamente facendo i calcoli il risultato è corretto ma non sono sicuro che questo sia quello che volesse il docente, che ne dite?
Il testo dell'esercizio può essere parafrasato come segue:
e, praticamente, ti sta chiedendo di risolvere la disequazione mostrando, successivamente, che l'insieme delle soluzioni contiene tutti i numeri naturali più grandi di un opportuno numero \(n_0\) (da individuare).
Dato che la tua disuguaglianza equivale a:
\[
1000(n^2+1) < n^3+n^2+n-1\; ,
\]
ossia a:
\[
n^3 -999n^2+n-1001>0\; ,
\]
ti basta provare che l'insieme delle soluzioni di tale disequazione contiene tutti i numeri naturali "sufficientemente grandi".
La disequazione cui sei arrivato non si risolve in forma chiusa e perciò, per terminare l'esercizio, dovresti ricorrere a qualche trucco... Però, non sapendo questo esercizio a che punto del corso ti è stato assegnato, non so a quali trucchi ti è consentito ricorrere.
Cerca di chiarire questo punto e poi ne parliamo.
Determinare \(n_0\) tale che risulti:
\[
\frac {n^2+1} {n^3+n^2+n-1} < \frac{1}{1000}
\]
per ogni \(n\geq n_0\)
e, praticamente, ti sta chiedendo di risolvere la disequazione mostrando, successivamente, che l'insieme delle soluzioni contiene tutti i numeri naturali più grandi di un opportuno numero \(n_0\) (da individuare).
Dato che la tua disuguaglianza equivale a:
\[
1000(n^2+1) < n^3+n^2+n-1\; ,
\]
ossia a:
\[
n^3 -999n^2+n-1001>0\; ,
\]
ti basta provare che l'insieme delle soluzioni di tale disequazione contiene tutti i numeri naturali "sufficientemente grandi".
La disequazione cui sei arrivato non si risolve in forma chiusa e perciò, per terminare l'esercizio, dovresti ricorrere a qualche trucco... Però, non sapendo questo esercizio a che punto del corso ti è stato assegnato, non so a quali trucchi ti è consentito ricorrere.
Cerca di chiarire questo punto e poi ne parliamo.
Ciao Gugo,
Innanzitutto grazie per la risposta, dunque la disequazione andava trasformata in questo modo, ed ok, il nostro corso di analisi 1 è molto molto basilare, ti dico cosa c'è nel programma fino al punto in cui appare questo esercizio,
Insiemi numerici, successioni e serie, nello specifico successioni e serie:
"Introduzione al calcolo infinitesimale, successioni, limiti di successioni, teorema di unicità del limite, successioni
limitate, operazioni con i limiti, teorema della permanenza del segno e conseguenze, teorema dei carabinieri,
successioni infinitesime, teorema sul limite del prodotto di successioni limitate per successioni convergenti. Forme
indeterminate. Successioni monotone, teorema sul limite di successioni monotone, limiti notevoli, confronti e stime
asintotiche, infiniti di ordine crescente, criterio del rapporto per successioni(s.d.).
Criteri di convergenza: Raporto, Radice, Leibniz. La seria armonica"
spero contenga quello a cui ti riferisci, in ogni caso il livello è molto basilare.
Grazie ancora per il tuo aiuto!
Innanzitutto grazie per la risposta, dunque la disequazione andava trasformata in questo modo, ed ok, il nostro corso di analisi 1 è molto molto basilare, ti dico cosa c'è nel programma fino al punto in cui appare questo esercizio,
Insiemi numerici, successioni e serie, nello specifico successioni e serie:
"Introduzione al calcolo infinitesimale, successioni, limiti di successioni, teorema di unicità del limite, successioni
limitate, operazioni con i limiti, teorema della permanenza del segno e conseguenze, teorema dei carabinieri,
successioni infinitesime, teorema sul limite del prodotto di successioni limitate per successioni convergenti. Forme
indeterminate. Successioni monotone, teorema sul limite di successioni monotone, limiti notevoli, confronti e stime
asintotiche, infiniti di ordine crescente, criterio del rapporto per successioni(s.d.).
Criteri di convergenza: Raporto, Radice, Leibniz. La seria armonica"
spero contenga quello a cui ti riferisci, in ogni caso il livello è molto basilare.
Grazie ancora per il tuo aiuto!
Ah, vabbé... Se puoi usare la definizione di limite hai praticamene finito.
Infatti la successione di termine generale \(a_n:=n^3-999n^2+n-1001\) è positivamente divergente, ergo in corrispondenza di \(\varepsilon =1\) esiste un \(\nu \in \mathbb{N}\) tale che \(a_n>1\) per ogni \(n\geq \nu\); pertanto nell'insieme delle soluzioni della tua disequazione sono certamente contenuti tutti i numeri naturali maggiori di \(n_0=\nu\).
Altra cosa è stabilire quale sia un \(n_0\) appropriato.
Per fare ciò, potresti, ad esempio, usare il principio d'induzione.
Infatti, nota che:
\[
\begin{split}
n=999 \quad &\Rightarrow \quad n^3 - 999n^2 + n -1001 = -2\\
n=1000 \quad &\Rightarrow \quad n^3 - 999n^2 + n -1001 = 999999
\end{split}
\]
quindi potresti farti dell'idea che \(n_0=1000\). Per provare che ogni \(n\geq n_0\) è una soluzione della disequazione, basta mostrare valido il passo induttivo, cioé che se \(n\geq 1000\) è soluzione anche \(n+1\) lo è.
Si ha:
\[
\begin{split}
(n+1)^3 - 999(n+1)^2 + (n+1) -1001 &= n^3 + 3n^2+3n+1 - 999n^2 - 1998 n-999 + n + 1 - 1001 \\
&= (\color{maroon}{n^3 - 999n^2 + n -1001}) + 3n^2-1995n-997\\
&\stackrel{\color{maroon}{ n^3 - 999n^2 + n -1001>0}}{>} 3n^2-1995n-997\\
&=\frac{1}{12}\ (6n - 1995 + \sqrt{3991989})\ (6n - 1995 - \sqrt{3991989})\\
&>0
\end{split}
\]
perché per ipotesi \(n\geq 1000 > \frac{1995 + \sqrt{3991989}}{6}\approx 665.5\); quindi \(n+1\) soddisfa la disuguaglianza, e ciò mostra che vale il passo induttivo.
Conseguentemente \(n_0=1000\) è un numero naturale che soddisfa la proprietà richiesta. Inoltre, dato che la proprietà non è vera per \(999\), è chiaro che non si può prendere come \(n_0\) alcun indice \(<1000\); perciò \(n_0=1000\) è il valore migliore possibile (quello minimale, cioé "più piccolo") per l'indice \(n_0\).
Infatti la successione di termine generale \(a_n:=n^3-999n^2+n-1001\) è positivamente divergente, ergo in corrispondenza di \(\varepsilon =1\) esiste un \(\nu \in \mathbb{N}\) tale che \(a_n>1\) per ogni \(n\geq \nu\); pertanto nell'insieme delle soluzioni della tua disequazione sono certamente contenuti tutti i numeri naturali maggiori di \(n_0=\nu\).
Altra cosa è stabilire quale sia un \(n_0\) appropriato.
Per fare ciò, potresti, ad esempio, usare il principio d'induzione.
Infatti, nota che:
\[
\begin{split}
n=999 \quad &\Rightarrow \quad n^3 - 999n^2 + n -1001 = -2\\
n=1000 \quad &\Rightarrow \quad n^3 - 999n^2 + n -1001 = 999999
\end{split}
\]
quindi potresti farti dell'idea che \(n_0=1000\). Per provare che ogni \(n\geq n_0\) è una soluzione della disequazione, basta mostrare valido il passo induttivo, cioé che se \(n\geq 1000\) è soluzione anche \(n+1\) lo è.
Si ha:
\[
\begin{split}
(n+1)^3 - 999(n+1)^2 + (n+1) -1001 &= n^3 + 3n^2+3n+1 - 999n^2 - 1998 n-999 + n + 1 - 1001 \\
&= (\color{maroon}{n^3 - 999n^2 + n -1001}) + 3n^2-1995n-997\\
&\stackrel{\color{maroon}{ n^3 - 999n^2 + n -1001>0}}{>} 3n^2-1995n-997\\
&=\frac{1}{12}\ (6n - 1995 + \sqrt{3991989})\ (6n - 1995 - \sqrt{3991989})\\
&>0
\end{split}
\]
perché per ipotesi \(n\geq 1000 > \frac{1995 + \sqrt{3991989}}{6}\approx 665.5\); quindi \(n+1\) soddisfa la disuguaglianza, e ciò mostra che vale il passo induttivo.
Conseguentemente \(n_0=1000\) è un numero naturale che soddisfa la proprietà richiesta. Inoltre, dato che la proprietà non è vera per \(999\), è chiaro che non si può prendere come \(n_0\) alcun indice \(<1000\); perciò \(n_0=1000\) è il valore migliore possibile (quello minimale, cioé "più piccolo") per l'indice \(n_0\).
Fantastico!
in effetti è perfettamente logico.
L'unica cosa che mi domando è n=999 e n=1000, come hai trovato questi due valori limite? sono notevoli, sì, ma come arrivarci?
EDIT:
La butto lì, volendo considerare quella disequazione come fosse una funzione su valori continui, cosa che essendo un polinomio sempre continuo mi sembra possa essere ragionevole, potrei cercare i punti in cui la funzione vale zero, però quel polinomio non è scomponibile quindi è un po' complicato... potrei anche andare a spanne, trovare i punti di minimo con la derivata e poi dal punto di minimo con X maggiore procedere con qualche tentativo per individuare il passaggio allo zero?
in effetti è perfettamente logico.
L'unica cosa che mi domando è n=999 e n=1000, come hai trovato questi due valori limite? sono notevoli, sì, ma come arrivarci?
EDIT:
La butto lì, volendo considerare quella disequazione come fosse una funzione su valori continui, cosa che essendo un polinomio sempre continuo mi sembra possa essere ragionevole, potrei cercare i punti in cui la funzione vale zero, però quel polinomio non è scomponibile quindi è un po' complicato... potrei anche andare a spanne, trovare i punti di minimo con la derivata e poi dal punto di minimo con X maggiore procedere con qualche tentativo per individuare il passaggio allo zero?
"oslinux":
L'unica cosa che mi domando è n=999 e n=1000, come hai trovato questi due valori limite? sono notevoli, sì, ma come arrivarci?
"A occhio"...
Dopotutto, in Matematica il tirare ad indovinare è lecito ed è uno dei metodi più usati per risolvere questo tipo di esercizi.
Ovviamente, non si tira ad indovinare a caso, e ci vuole una certa esperienza.
In questo caso, era evidente che per \(n=999\) i primi due addendi di \(n^3 - 999n^2 + n -1001\) si semplificassero e che da ciò che rimaneva in gioco uscisse fuori un numero negativo; quindi provare anche per \(n=999+1\) sembrava ovvio... Ed ha funzionato: infatti, il polinomio \(p(x):= x^3 - 999x^2 + x -1001\) (ottenuto rimpiazzando la variabile discreta \(n\) con quella continua \(x\)) ha \(p^\prime (x) = 3x^2 -1998 x +1\), perciò è strattamente crescente per \(x\) "grande" (infatti \(p^\prime (x)>0\) per \(x> \frac{999 + \sqrt{997998}}{3}\approx 666\)), quindi da teoremi classici del Calcolo segue che se uno zero è presente per \(x>666\) esso è unico; il teorema degli zeri assicura che uno zero del polinomio cade in \(]999,1000[\), ergo per ogni \(n\geq 1000\) la disequazione era verificata.
Tuttavia, non sapendo se ti era lecito usare il Calcolo, ho preferito farti una breve dimostrazione del fatto che \(n_0=1000\) usando l'induzione.
Grazie, ho capito tutto 
salve a tutti mi accodo a questa discussione, visto che il mio esercizio chiede la stessa cosa, ma la traccia è diversa:
$sqrt(2n)-sqrt(2n+1)<0.01$
$sqrt(2n)-sqrt(2n+1)<0.01$
Beh, come detto prima, bisogna indegnarsi per sisolvere in qualche modo la disequazione.
Tu cosa hai provato?
Tu cosa hai provato?
Scritta così però è sempre vera ... 
Altrimenti è $1250$ ...
Altrimenti è $1250$ ...
io ho provato a elevare ambo i membri al quadrato, ma così facendo si annullano i termini con la n. Allora ho deciso di studiare separatamente i membri, quindi prendo in considerazione $sqrt(2n)$, perchè risulta essere quello più grande andando a sostituire la n, quindi se è verificata quella sicuramente sarà verificata anche per $sqrt(2n+1)$
"johack":
io ho provato a elevare ambo i membri al quadrato, ma così facendo si annullano i termini con la n.
Non è così.
Partendo da questa $sqrt(2n+1)-sqrt(2n)<10^(-2)$, che secondo me è la versione giusta,
elevando al quadrato abbiamo $2n+1+2n-2sqrt(2n(2n+1))<10^(-4)$,
spostiamo qualcosa $4n+1-10^(-4)<2sqrt(2n(2n+1))$,
eleviamo al quadrato un'altra volta $16n^2+1-10^(-8)+8n-8n*10^(-4)-2*10^(-4)<16n^2+8n$,
ed otteniamo $1-10^(-8)-2*10^(-4)<8n*10^(-4)$,
dividiamo $(1-10^(-8)-2*10^(-4))/(8*10^(-4))
Cordialmente, Alex
P.S.: a dir la verità, c'è una piccola incongruenza: se metto $1250$ nella formula va bene, mentre il risultato del calcolo qui sopra mi darebbe $1251$; mah ...
EDIT: Risolto, sbagliavo il calcolo
non mi è molto chiaro il primo passaggio!!!:(
Cioè quale?
da questo: $sqrt(2n+1)-sqrt(2n)<10^(-2)$ a questo $2n+1+2n-2sqrt(2n(2n+1))<10^(-4)$
Beh, l'ho scritto ... elevando al quadrato ambedue i membri ...
capito capito, grazie veramente tanto quindi analogamente si risolve anche questa così:
$(2n+1)^(1/2) - (2n-1)^(1/2)<0.001$
adesso provo a risolverla e vi faccio sapere
$(2n+1)^(1/2) - (2n-1)^(1/2)<0.001$
adesso provo a risolverla e vi faccio sapere
non riesco a giungere a una soluzione mi vengono dei calcoli assurdi!!! 
Beh, mica poi tanto ... cmq viene cinquecentomila ($500.000$) ... o $500.001$?
EDIT: è $500.001$ ... devo stare più attento ai segni ...
EDIT: è $500.001$ ... devo stare più attento ai segni ...
se non sbaglio anche in un quadrato ce un segno sbagliato
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